ベルヌーイ一族は一流の数学者を輩出したスイスの家系です。その一人のヤコブは中でも特に才能豊かだった。その発案によるベルヌーイ数を巡ってちょいと計算してみました。 ja.wikipedia.org まず、その定義から。 この係数ｂnがベルヌーイ数の土台です。最…

西洋数学史で黄金期とでも言えるのが17世紀から18世紀のあたりでしょう。 綺羅星のごとき天才鬼才が間断なく出現してくる時代でした。 注目すべきは西ヨーロッパの国をまたがっていても彼はその研究プロセスにおいて、交流し、刺激しあい、成果を共有できて…

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) や x^4-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)の円分多項式に現れる ここのx^4+x^3+x^2+x+1の因子をとりあげて、その多数階微分=0の解がどのように出現するかを可視化してみましょう。 16次の方程式の場合、 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 +…

円環についてグルグルと計算しているが、三重の円環というのを構成してみた。 通常のトーラスは２つの円の組合せだ。 三重の円環とはこれに円軌道を追加するという意味だが、どのようなものかを下図に示す。 基本となる円の半径ｒ1 ｒ2 、それにｒ3を円環上…

円環(torus)まわりの数理散策で拾った落ち穂であります。 原点中心にしてＺ軸まわりの半径aの円周を中心にした、円を描く。その円の半径がb+c sin(m u)となる。u と vはラジアンの角度パラメータである。mは任意の数だけれどここでは自然数にしておく。 以上…

ファレイ数列から生成される円をFord円というのだけれども、それに一味加えてみた。 x=1/2を軸にしてこれらの円列をZ軸の回転させると円環（トーラス）の束ができるであろう。129個のトーラスを同時描画している。それらを描画してみたのが下図であります。…

四つの半円からなる図形の面積は青い円と同じとなることをアルキメデスが『定義集』で示している。 ここで、青い円の半径はオレンジ色の円と赤色の円の半径の平均値である。 下記の比率だとドキンちゃんにそっくりとなる（どうでもいい話だが） 三次元空間で…

ファレイ数列に伴って生成されるフォード円はご存知であろう。 ja.wikipedia. も少し拡大した、詳細図はこうだ。右側の４分円は半径が1/8だ。 この円列の変形を追求するうちに、下式の漸化式と遭遇した。 何が興味深いかというと初期値＝1/4とすると {1/4, 1…

初等関数についで性質が知られていて応用範囲も広いのは楕円関数であろう。周期関数の一種だ。三角関数の拡張と考えることもできる。 そのなかでヤコービ関数は力学などにとく登場する。cn(x,k), sn(x,k)などの表記が使われる。それぞれ、cnはcosに、snはsin…

正接関数（tan）にまつわる定積分を余暇に計算していたら、意外な顔をみせたので書き留めておきます。はじめの一歩はこの定積分。 二乗の差はもっと面白い。 だが、しかし、柳の下に泥鰌はいない。三乗ケースは収束しない。 このように変形すれば、計算はで…

今はなきマーチン・ガードナーによれば、完全立方体は未解決の数論問題のなかでも悪名が高いそうであります。問題自体は簡単そうだけれどもレオンハルト・オイラー以来、大きな進歩がないという意味でしょう。解は見つかっていないけれど、非存在であるとい…

よく自然科学書に全宇宙の素粒子の数とかいう表現がある。自分が最近、見かけた式は「ディープラーニング」の解説本の注釈にあったものだ。 なにかしら数学的に禍々しい表現ではないだろうか。 同書では「一説によれば」という但し書きがついているが、この…

自然数の相乗平均は定義から、 スターリングの近似式を代入するとおおよその大きさが知れるわけだ。 あとで比較する素数の相乗平均との兼ね合いでｎで除しておこう。 1/e=0.367879.. となる。これは一種の極限値といえる。 うえに見習って、次の素数積の相乗…

ベルヌーイ数を再び、故あって考察する。ベルヌーイ数の具体例は下表だ。 なぜかというと、重要な数なのに出現パターンが読めない不思議な種族だからだとしておく。 ｎが奇数では０となる。これも変だが、n=1は例外だ。 ｎが大きくなると仮分数になってくる…

初期の計算機数論の帝王レンストラは幾多の数論の探究成果を残している。 wikijp.org この不思議な数列もその一つだ。ｘ43ではじめて整数にならならないのだ。 その検証をやろうとしたのであるが。 はじめの15個だ。 2, 3, 5, 10, 28, 154, 3520, 1551880, 2…

ふつう、ベルヌーイ数Bkの定義は下式のような母関数めいた定式化がなされる。 どのような数値になるかと云うと下表が最初の１２個の値。いずれも有理数だ。 あのクヌース先生は１２番目で奇妙な数字になっていて、シンプルな表現の期待は消し飛んだとのたま…

筆者は面倒くさいゲームが苦手であります。人から依頼されて「ヒット＆ブロー」について、頭が回らないうえに気の染まない考察を行いますので、間違いにはご容赦いただきたい。 4つのポジションに割当てられた色を交互に推測するゲームです。6色から異なる4…

超越数の王者と女王とは、eとπのこと。どちらがどっちかはここでは議論しない。 果てしない論争になると思われるからだ。 超越数の王者と女王の子女とはeとπの初等演算から生成される数値類のこと。 この二者が代表だ。 どっちが大きいのとかいう問題はご存…

昨日の続きです。 ガウス平面上の正三角形の頂点をゼロ点とする高次方程式の気散じの計算です。 はじめの一歩は下の正三角形の頂点を解とする三次方程式を確認します。 答は、ご存知の円分体の三次方程式 では、各辺の中点を頂点とする内部にある正三角形を…

どうも高温下と多湿化と高齢化のせいで、数学的な集中力が低迷気味であります。形而上学的夢想ならまだしも、数学的な夢想はこの時節キツいです。 本日は気散じの計算努力を書き残します。 代数的な方程式は複素平面での点となります。複素平面の点群を与え…

プラトンの正多面体、すなわち正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体が、同一の球に内接するとしよう。球の半径は「１」としておく。 どの多面体が最大の表面積であろうか？ 言い換えると、外接球の面積に一番近くなる正多面体はどれか？ 正四…

20世紀後半にワイルズにより解決されたフェルマー大定理は nを2より大きな自然数とするとき， 方程式X^n+Y^n=Z^nは0とは異なる整数解をもたない． というものだ。 ここでは、その複素数版の制約事項付きの証明を考える。証明といっても疎かかつ準初等的な流…

コラッツ予想については風変わりでアマチュアにも楽しめるので、何度か議論計算している。 今回は負数のコラッツ予想の拡大とその応用としての平面ビジュアルを探索したので、お伝えする。 コラッツ予想の振り返りから、 すべて自然数ｎについて、下記操作の…

この定積分は数理計算愛好家によりよく引用される。3種のタネ本で見たことがある。 左辺の対称性と右辺の妙味が関心を惹き付けるようだ。 それをやや一般化して、ｋ：自然数での定積分の結果というのも当然、関心を呼ぶ。 実は、これも数年前に計算して一覧…

こんなものにカッコ良さを求めるのは間違っていると思いつつ、 この不等式を満たす範囲を2次元的に図示する。 ｘとｙが０とπの間でなら、それほどのこともない。 しかし、πと3/2πではこんな感じになる。3/2πに近づくと計算精度が落ちて、なんだか構造が見え…

（小題：その１） このような自然数の逆数の和（いつものネタ）を考えてみた。 腕に覚えがある人はたやすく下式を導けるだろう。 しかるに、 となると難易度があがる。 どうやら、カタラン定数を知らないと出せないらしい。 www.jpedia.wiki これを用いると …

その昔、珠算教室に通ったことがある。いまでも算盤は愛用している。加算しかできなのでありますが、、、。 算盤の高等テクニックの一つに開立というのがあると知ったのは、その時だったかどうか、とにかく算盤だけで立方根が計算できるとは「凄い」と思った…

x=0の近傍で微分可能な関数は下式に展開されるというのは高校で習った。 例えば、指数関数は となるが、 この分母を細工して、項を追加した場合はどんな関数（陽な表示）になるだろう？ 式の変形でこうなるのがわかる。 では、これはどうか？ 受験数学的だけ…

カントールが示したように有理数は可算無限である。q/pは1,2,3....と数え上げることができる。１対１に自然数と対応可能なわけだ。 1/1を頂点において数え上げよう。下のように分母分子に共通因子があるのに注意しよう。2/4は1/2としている。 このような共通…

ラマヌジャンが研究のあいまに書き残した根号展開がここにある。 実際に数値計算してみみると両辺とも、0.63818582086064415...となる。 右辺を三乗しても直接に確かめることができる。 問題はどうしてこうした意想外の関係式が導出できるか、なのだけれど皆…