夏休みの多項式分解宿題

　これも夏休みの頭のほぐし計算ですね。

４乗の多項式で、a+b+c+d=0 のときの因数分解の一例です（ラマヌジャンがやってる計算を参考にしてます）

　言い換えると上記の左辺は負になることはないわけですね。それなりに興味深い因数分解ではないでしょうかね。
　ちなみに５項の５乗和での類似例はいろいろトライしてみましたが、複雑で面白みにかけます。
せいぜいが、a+b+c+d+e=0　のもとで下式が成立するくらいでしょう。

　この厄介さは、五次方程式に根号解がないとの関係しているんでしょうかね。

【アンチョコ的補足】
　基本対称式を使えば、比較的容易にこうした因数分解は探せます。多分ラマヌジャンも頭のなかでそうしたのでしょう。

　そのやり方のステップを示します。

１）最初の多項式を設定します。同次多項式で対称式であることが重要です。
２）次に基本対称式に分解します。対称式は基本対称式に分解できるわけです。
　　ここのところが計算量と手腕が必要です。
３）基本対称式の一つ、例えば a+b+c=0 にすれば元の式が単純なものになるかを試行錯誤します。

【参考資料】
　代数学の教科書などに基本事項はあります。コックスの本のような事例が豊富な教科書が面白いですね。「ガロア理論」と銘打ってますが代数学のおさらいを含んでます。

ガロワ理論〈上〉

ガロワ理論(下)

ゼータの差分の極限

　ゼータの手慰み数値計算例。

ｎをデカくしてゆくと1/2になるようだ。

n=1から10までの計算値

0,
0.270354128109065648735223893955, 0.379137119716442610893954559272, 0.431423872526950877199313988223, 0.459225198451968744286958300904, 0.474985934483968448556614416074, 0.484316840774500545116703453557, 0.490012395604502542611158744099, 0.493566569764355695933218297403, 0.495820808637217315234484482211

グラフ化しておく。

　それにしてもζ(3)のような奇数のゼータの値の正体がもっと判明にならないものだろうか？
ζ(1)がオイラーの定数と関連しており、そのオイラーの定数が無数の数学者の攻略を阻んでいるのを見聞きすると、やはり難しいのでしょうが。

無理数のエジプト風分数分解 （ 続き ）

　前回の「無理数のエジプト風分数分解」では

のような分数分解の一手法を説明し、それは使いみちがないと結んだ。

でも、よく見るとリュービルの定理、もしくはロスの定理の分かりやすい事例になっているようだ。

　上の分解はこう表現できる。

　分数分解の二項目でかなりの精度でπを近似表現できる。それにひきかえ、代数的数はもっとゆるい。
　例えば、ルート２では分母が大きめで推移する。

最初の三項まででの近似精度はこう表現できる。

　つまり、こう言って良いだろう。
代数的数は分数分解の収束速度が超越的な数よりも遅いのだ。

【参考資料】

連分数の基本から超越数との関係を説明するロスの定理までを含む。

連分数のふしぎ (ブルーバックス)

無理数のエジプト風分数分解

　どんな分数も分子が「１」になるように分解するやり方をエジプト式分数という。なぜ、このような面倒な方式になったかというと記数法の制約によるものだ（カジョリの『初等数学史』などを参照されよ）

　一例をしめします。

　この方式は一意性がないのが、問題である。また、場合によっては分母がドデカクなってしまう。
　ですが、古代のエジプト人たちがこんな複雑な代数計算をしていたのは尊敬に値する（日本では縄文時代ですからね）

　本日、朝の思いつきで、エジプト方式を改良したやり方で無理数の分数分解を試みた。
ポイントは負の分数も含めることにある。ともかくも一意性は保証できる。

　次のようなアルゴリズムで計算する。

１）もとの無理数αとする
２）はじめにβ＝αー｜α｜を計算する。｜｜は四捨五入である。
３）ｎ＝[1/β]を計算する。これは整数になる。[]はガウス記号である。
４）γ＝β−1/nとする
５）ｎ＝[1/γ]を計算する。
６）以下、適当なところまで４）と５）を繰り返す。ｎは急速に増大するので２０桁くらいで止める

　四捨五入がすこしアバウトな感じがあるかな。

　このエジプト式の計算結果例を出しておきましょう。

√２では「1.4142135623730950488」
√３では「1.7320508075688772935」程度にはなります。

　お約束の円周率πへの適用例。

この近似値は「3.141592653589793238462643383279502884197」となる。

　役に立つとは思えない計算法だが、古風な計算の風情をたしなみたい方（そういう閑暇を愉しむ人がいるならば）は試算してみられるといい。

【参考資料】

カジョリの本には「アーメス・パピルス」の実例で解説されている。

初等数学史 上 古代・中世篇 (ちくま学芸文庫)

素数でゼロになる関数の変種

　ウィルソンの定理を応用した関数である下式はｘが素数で確かにゼロになる。これが数学パズルに引用される関数の変種だ。

なぜなら、（ｐ−１）！＋１はｐが素数のときに限り、ｐで割り切れるからだ。！は階乗記号。
これが、ウィルソンの定理だ。
　よって、ｘが素数であればπの整数倍になるので、サインはゼロになる。
で、グラフを描くとこうなる。確かに２とか３でゼロになっている。

　さればとて、ｘが素数以外の実数値でもゼロになっているということだ。
ここは、素数でしかゼロにならないようにしたい！

　改良を試みる。

　手始めに（ｘ−１）！をガンマ関数Γ（ｘ）に置き換える。諸兄も異論はあるまい。
そのうえで、複素化により書き換えする。Absは絶対値の意味。

これが気に入らない向きには下式に変形してもいいであろう。

というわけで、ｘが正の実数ならば、素数になるときに限り、この関数はゼロになる。ただし、下図のようにガンマ関数の振る舞いがやんちゃ坊主すぎてゼロになるかどうかを追いかけるのは大変だ。

これはという使いみちがない関数であるけれど、素数が極にあるように書き換えて、その挙動を複素平面で描画してみた。実軸は−２と２の間、虚軸も同じ区間で、関数はこうしている。

こうしてビジュアル化するとゼロ点が白く浮き出る。右平面では実軸の素数のみが白くなっているはず（２と３が近いので大きな楕円になっているようだ）。それよりも左平面にゼロ点がいくつか出現していのがおもしろい。

　素数と馴染みのある関数ということで、なんとなく、いい感じの等高線図ではないか。とくに左半平面の渦の出方にワビサビがある。

　流石に欧米の素数オタクも上のような児戯には触れていない。

素数大百科

このゼロ点は何か

　いつものようにアトランダムな思いつきで計算しまくって、これは何かと当惑するパターンです。
下記のような関数を考えよう。

　諸兄のお気付きのようにｘ＝０、ｎ→∞とすれば、オイラーの定数（本ブログの定番）を極限としてもつ。
　ここは有限（ｎが1000程度）の数値計算で勘弁していただく。
　ｘを０と１とで関数を図示するに。

　x=0.45近辺にてｘ軸とあえなく交差しているのであります。x=0ではお約束のオイラーの定数γに近い値（y=0.55程度）でこの関数はｙ軸と交わってます。また、x=1でのｙの値はγ-1（-0.42付近）となっています。
近似的な計算によれば、0.466779が導かれる。方程式が始末が悪い形式なので精度がイマイチ。
　ｘ軸との交点x=αは数式的には調和級数の分母が（k＋α）であるとき、ｎ→∞とすれば対数Log(n+α)と漸近的に一致するということなんですが．．．。

でも、この交差点はいったいぜんたい、何なんでしょうか？

オイラーの定数ガンマ ―γで旅する数学の世界―

【追記】
　計算方法を改良してn=1000000でのｘ軸との交点を求めた。
　　　　　　　　　　　0.46163266167149475039
う〜ん、とくに見覚えがある数字ではない。

対称式の連立三元三次方程式のある種のものの解

　x,y,zについての連立方程式を考える。γは所与とする。

解は存在する。三次方程式なので可解なのであります。厳密解まで求められる。
その一つはこんな有り様です。

通常ではここでオシマイ、なのであるけれど、この連立方程式は３次元空間内の曲面であった。
平面と球面と三次曲面の交わる点が「解」であるはずだ。もちろん、実解のみだ。複素数は表現できないのだから。
　例えばの話、γ＝２ならば、どうなるだろうか？

　手始めに、三次曲面を表示しておこう。

　球面を重ねる。いずれもγは２としている。

赤が三次曲面で青が球面だ。これに平面を重ねたものが下図だ。

回転させてみると三角形の頂点が解であるらしい。赤と青と緑の３個の接点である。

逆にいうならば、そう、実の解がありそうなわけであります。上の厳密解の式にγ＝１を代入するとこうなる。

　変形が必要な複雑な数値解にみえるかもしれない。
　でも、深く考えるまでもなく、上の図の三交点は(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)なのでありました。
しかし、γがいかなる範囲にあるときに解（実数）があるのであろうか。

【参考資料】

　最近は曲面なんて単純すぎて誰も研究していないのかもしれませんねえ。この本は昔、図書館で借りたけど図が多くて楽しかった。

曲面論講義―平均曲率一定曲面入門