2013-10-01から1ヶ月間の記事一覧

多角形と外接円の反復

畏友ともいうべきスモークマン氏の参照があった多角形と外接円の反復図形を試作してみよう。 n角形の外接円はr(2)=1とすると下式となる。 後は、原点を中心とするr(n)の円を順次作図し、それに正n角形(原点から頂点までの距離をr(n))を順次作図するだけだ…

代数閉曲線の変異型

なるたけユニークでありながらシンプルな数学上の問題を探すという趣旨のブログ。今回は、以下の代数的な閉曲線の変異型を考えてみます。 iは虚数であります。 mとnはゼロでない、実数としましょう。上記を満たすような(x,y)はどんなものとなるか? …

凹んだ代数閉曲線

本日はお日和もいいので、趣向をやや変更して代数曲線で閉曲線となるものの面積を計算してみる。 次の四次の曲線は凹んだ閉曲線を与える。 a=b=1ではこうなるよ。 x軸との交点は√2 a, y軸との交点は√2 bとなることが示せる。 a=3,b=2ではこうなるよ。 面積…

円に相当する閉曲線

前回のつづきで原点まわりの閉曲線を計算する。 次式で定義される曲線がテーマだ。 mもnも自然数、それも偶数としておこう。つまり、mとnが異なる場合を考えるのが今回のヒネリである。 下図はm=4,n=2の作図だ。 この面積の公式を導出して置く。Γ…

円に相当する曲線

原点をとりまく以下のような系列の曲線を考えるとしよう。 言わずと知れた、この方程式で表現されたものだ。内側からn=2,4,8である。 n=2,4,8...と偶数で大きくなれば正方形に無限に接近する。 面積の一般式を出しておこう。 このGammaとはオイラーのガンマ…

代数学難問

1877年(明治10年)に発足した東京数学会社は、今日の数学学会の先駆けであります。「会社」というのが振るっている。 機関誌として「東京数学会社雑誌」を出した。和紙で和綴じの江戸時代の和本そのままで、洋算を研究結果を発表するのである。 毎回、問題…

メビウス変換の反復図像

三角形に対してメビウス変換を繰り返し適用する。いかなるイメージを生成するかをトライしてみよう。 メビウス変換とは次の式で表現される。w,zは複素数とする。 ac-bdはゼロではなく、分母の係数は同時にゼロにはならないとする。これを三角形⊿に適用してみ…

虫食いサーフェス

昨夜の続きの計算幾何であります。 上式が曲面となるのはいいかな。変数が3つで式がひとつということは、独立変数が2つになり、それは二次元の自由度をもつことになり、曲面を表現できる。 上式の曲面計算はかなりのCPUパワーを食います。結果は下図となり…

三角関数からなるシロアリ巣穴ライクな造形

とまあ、こんな陰関数の3D形状を計算してみた。1/5ではなくて、1/9としたらどうか? 符号を書き換えたらどうなるであろうか? こうなるときたもんだ。 お題のシロアリ巣穴はこの陰関数のプロットだろうか。