トンデモ話に近い特殊な実験ネタであります。円周率をガンガン連分数展開します。元々は超越数の連分数展開がどんなもんじゃろかという日頃の関心がトリガーでした。 そこで出現する自然数はいろいろでありますが、そのなかでも素数を拾い集めるというのは甚…

ガウス素数を巡ってはぐるぐると周遊しているけれど、今回もあてどない計算結果の旅ですね。 ガウス素数の原点からの角度分布を試算してみたい。ガウス素数を銀河に見立て、原点を地球としてガウス整数宇宙の観測をするというメタファーだ。 計算限界が観測…

そもそもガウス素数をふつうの素数と比較するとはどういうことになるだろう？ ガウス平面上で素数をカウントするというとその絶対値で弁別せざるを得ないのは誰しも認めていただけるだろう。自然数Rを与えて ABS{Gauss Prime} -5 - 5 I, -5 - 4 I, -5 - 3 I,…

数理的天才の始祖であるアルキメデスの残した余技として、「アルベロス」は数学ファンの愛玩物の一つである。近年、新機軸の紹介書が出たことでも知られる。 これは、３個の内外接する円の織りなす精妙な関係についての定理である。「靴屋のナイフ」がこの奇…

素数の巾乗和を考えてみよう。Prime[k]はk番目の素数である。 kを動かして、素数が一番多くなるような数列はどんなものであろうか？ 一般論は展開できないので、実験数学的にアプローチしてみよう。 具体例を示してみよう。 kを１から１１１まで動かして得ら…

三角形の各頂点からの距離の和が最小となる点を「フェルマー点」という。初等幾何的な問題が中学入試（！）に出題される。 初等幾何的解法が初等的かどうかはともかく、解析的に解くにはとても不向きな問題であります。 ここではフェルマー点の特徴を使い、…

このようなヤヤコシイ変形版を今しがた考えた。素数の逆数の和pz[n]を以下の規則で反復する。 pz[n]>0 なら pz[n+1]=pz[n] - 1/Prime[n+1] そうでないなら pz[n+1]=pz[n] + 1/Prime[n+1]Prime[n]はｎ番目の素数であります。そして、計算後に素数階乗（primor…

今しがた、こんな数列の二種を考えてみた。１） ２） つまり、素数の逆数の和、素数の逆数の交代和に素数だけの階乗を乗算した数列であります。 例を出しておこう。 これらはどれもこれも自然数となるは自明としておきましょうか。 試算してみるのも悪くない…

円錐と平面のクロスセクションが楕円（二次曲線）となるのは古代ギリシア期には証明されていた。 アポロニウスの『コニカ』（なんと邦訳もある！）がその決定打だったのですが、デカルト以降の解析幾何学時代に生きる僕らはもう少々、代数的な表現をするのも…

三次元空間内で円を描くことは数学的には何の新味もないが、かなり手続きが面倒くさい。 円を空間的に定義するにはいくつかのやり方がある。 例えば、(x0,y0,z0)を中心とする半径rの球と平面の交わりを考えてもいい。 だが、どうやってこの交線が円となるこ…

過日の３球問題。 即ち、お互いに外接しあう３つの球の回転の仕方で、自由度を増やした。 原点にある小球以外の２つの球を同時に動かす時、接点の軌跡を描画する。 前回までは原点に中心のある球r1とｚ軸上に中心のある球r3を固定していた。その両方に接する…

この曲線の由来を説いてゆこう。ある意味、なんの変哲もない下式から描画された媒介変数の曲線である。 実はこれ、球面上の曲線から射影されてきたものなのである。元はといえば、単位球の表面に描かれた曲線である。 その曲線が表題と関係してくる。 3つの…

フランス人の数学者ヴィエトは１６世紀の法律家、要職を歴任した出来る法律家でもあった。 記号代数の確立に大きな貢献をしたと数学史家は指摘している。 後世、フェルマーが数論に成し遂げたようにだろうか。フェルマーもまた法曹界の人物であった。 円周率…

畏友ともいうべきスモークマン氏の参照があった多角形と外接円の反復図形を試作してみよう。 ｎ角形の外接円はr(2)=1とすると下式となる。 後は、原点を中心とするr(n)の円を順次作図し、それに正n角形（原点から頂点までの距離をr(n)）を順次作図するだけだ…

なるたけユニークでありながらシンプルな数学上の問題を探すという趣旨のブログ。今回は、以下の代数的な閉曲線の変異型を考えてみます。 ｉは虚数であります。 ｍとｎはゼロでない、実数としましょう。上記を満たすような（ｘ，ｙ）はどんなものとなるか？ …

本日はお日和もいいので、趣向をやや変更して代数曲線で閉曲線となるものの面積を計算してみる。 次の四次の曲線は凹んだ閉曲線を与える。 a=b=1ではこうなるよ。 ｘ軸との交点は√2 a, y軸との交点は√2 bとなることが示せる。 a=3,b=2ではこうなるよ。 面積…

前回のつづきで原点まわりの閉曲線を計算する。 次式で定義される曲線がテーマだ。 ｍもｎも自然数、それも偶数としておこう。つまり、ｍとｎが異なる場合を考えるのが今回のヒネリである。 下図はｍ＝４，ｎ＝２の作図だ。 この面積の公式を導出して置く。Γ…

原点をとりまく以下のような系列の曲線を考えるとしよう。 言わずと知れた、この方程式で表現されたものだ。内側からn=2,4,8である。 n=2,4,8...と偶数で大きくなれば正方形に無限に接近する。 面積の一般式を出しておこう。 このGammaとはオイラーのガンマ…

1877年（明治10年）に発足した東京数学会社は、今日の数学学会の先駆けであります。「会社」というのが振るっている。 機関誌として「東京数学会社雑誌」を出した。和紙で和綴じの江戸時代の和本そのままで、洋算を研究結果を発表するのである。 毎回、問題…

三角形に対してメビウス変換を繰り返し適用する。いかなるイメージを生成するかをトライしてみよう。 メビウス変換とは次の式で表現される。w,zは複素数とする。 ac-bdはゼロではなく、分母の係数は同時にゼロにはならないとする。これを三角形⊿に適用してみ…

昨夜の続きの計算幾何であります。 上式が曲面となるのはいいかな。変数が３つで式がひとつということは、独立変数が２つになり、それは二次元の自由度をもつことになり、曲面を表現できる。 上式の曲面計算はかなりのCPUパワーを食います。結果は下図となり…

とまあ、こんな陰関数の３Ｄ形状を計算してみた。1/5ではなくて、1/9としたらどうか？ 符号を書き換えたらどうなるであろうか？ こうなるときたもんだ。 お題のシロアリ巣穴はこの陰関数のプロットだろうか。

正方形の頂点に複素数倍された正方形の子どもを接続させるというお遊びを再燃させてみた。 １／２倍の正方形を増殖させたケースから開始しよう。 次は、1/2＋I/2(Iは虚数)倍したものだ。付け加えると、これらの正方形の頂点は複素数で表現されている。だから…

｜ｚ~2- α｜＝ｍ を考える。ｚは複素平面で動かす。αは二重数列とお考えいただこう。ｍは定数で、ｍ＝１．５としよう。 αは、こんな等差数列だ。α＝ｉ＋１．５ｊ （i,jはそれぞれ−６〜６の整数） するとこんな等高線が描ける。 ｜ｚ~3- α｜＝ｍ でもよい。 …

岩波書店の数学辞典(第4版)と比較すると『岩波 数学入門辞典』は読める。それなりに理解できるレベルで書かれている。 前者は純粋数学＆抽象数学のゴリゴリで門外漢には無用の長物と言えなくもないのに比して、後者は十分に実用的で教育的だと思う。 「記数…

素因数分解の見方としてこんなのもあるよ、で遊歩してみよう。 自然数は一意的に素因数分解ができる。 １２＝２☓２☓３ これは、つまり、{2,2},{3,1}と等価であります。 であるからには、これは二点{x1,y1}{x2,y2}を結ぶ線分と同じと見なせるのでありますな。…

すでにドリーニュにより証明された「ラマヌジャン予想」とやらを検算してみた。 「無限の天才」と呼称されたラマヌジャンの思考の片鱗なりとも理解できるかもしれない。 その予想とは、次の関数⊿を考える。 これをｘでマクローリン展開するときの係数τを考え…

漫然と以下の数の積を比較してみた。 最初の列は２から始まる自然数、次は素数、そして２のべき乗の逆数を１から差し引くものだ。 最初の列は とすれば、1/nと単純化できるが、残りの二つは複雑である。 最初の列と素数の列の数値の行方は、横軸はあてになら…

前回の継続である。 数列の積を複素数に拡張する。ここでは自然数の逆数に虚数 I を掛けて生成する。 調和数列的で優美な積の数列である。これはある優美な曲線に接近する。それを見てゆく。複素数で考える。n=1の時は1-iである。n=2の時は(1-i)(1-i/2)=1/2-…

昨日のｎ角形頂点からの相互追いかけの軌跡。その対称性を外してみよう。 一点のみの速度を倍にしてみる。 ｘ＝１からの点を倍速にしたのが下図である。 このように集合点がズレる。開始点をX＝２に追いやるとこう変わる。 次は正五角形の頂点からスタートす…