愛読書というほどでもないけれども手元でパラパラめくる本である『何だこの数は？』（東京図書） ブルバキ派のル・リヨネのエスプリに富んだ数の辞典だ。 ４５９個の数の７１１の性質について1989年当時の知識をまとめている。 「１１３」の項にこうある 次…

トーラス（円環）の入れ子の一つであるマルチトーラスを描いてみた。トーラスの媒介変数表示はこうなる。 このｖの関数部分を増殖させてみたのが、マルチトーラスというわけだ（ここだけの定義です） 1/2の等比級数的にしてみよう。こうしてもｚ軸の円環は不…

日本特有の美のあり方で「数寄」の美というものがある。「好＝すき」のあて字だとのことだが、数寄は奇数の美であると柳宗悦がいうように、素数に秘められた美というものを考えてもイイでしょうね。 以下、牽強付会の数理的な美についての走り書きであります…

楕円は二点からの距離が一定である。その拡張がｎ焦点楕円だ。 ここでは３焦点楕円のある事例をまとめる。 複素数ｚで表示する。三点からの距離の和がいつも同じということを示す。 たとえば、2 x^3 + x + 4 =0の３根は複素数である。 これら三点の解を入れ…

円分多項式は円分方程式を規約分解する多項式であります。こんな定義式ですね。 具体的には、ｎが１から１８までの円分多項式はこうなります。 今回は円分多項式＝０の解についてです。 これは円分方程式の解の一部なので、複素平面上の単位円の周上にありま…

極座標表示での一般のｎ焦点カッシーニ曲線の式はこうなります。 今回のネタは、４焦点カッシーニ曲線でｎ＝４であります。 ここで、曲率の二乗の式をあげておきましょう。 いつものように同じカッシーニ図形の噛み合い、絡み合いを考えます。 ｎ＝４でθ＝０…

言わずと知れたカッシーニの卵形の続きであります。複素平面で三点からの距離の積が不変な曲線群です。 Abs(z^3-1)^2=h その三点は１の三乗根ωをベースとしています。なんとなく円分方程式と関係性があるのですね。 ｈを動かす。０から３まで連続的に変化さ…

二つの同じカッシーニの卵形が接するだけで擦れることなく、回転するケースを生成した。互いにキスする一瞬だけ曲率半径が一致する、解析解はおそらくこのケースだけではないか。 回転中心間の距離は不変です。 なにかの動力伝達に使えるといいんだけど。 あ…

曲線で楕円とならんで人気があるのは「カッシーニの卵形」だと思う（本当？） 極座標表示ではこんな式だ。h=1.35での形状。 h=1だとレムニスケートになる。今回は卵形のほうが興味がある。 曲率の式を出してみた（曲率の二乗） これでは数式処理ソフトがなけ…

外側を転がる円につづいて、内側を転がる円であります。 長軸＝１で離心率ｅの楕円の内側を半径ｒの円が転がるとする。始点はｘ軸の右端点です。 その時の始点の軌跡をθ（楕円と円の接点をｘ＝Cosθ、y＝(1-e^2)^.5 Sinθ）で表示したのが、 下式であります。 …

「ゴリゴン」なる言葉に出くわしたのは、デュードニーの『コンピュータリクリエーション Ⅲ』だった。日本で発刊されたのは１９９２年のことだ。日経サイエンスの購読者は前年には読んでいたろう。 そんな昔ではない？ いや、もう２０年近いのだ。 Golly（び…

かつてベジェ曲線機能を知ってはいても、見栄え良く図形を作る才幹に乏しいことを詠嘆しました。 誰でも思いつくのがオールズのアルゴリズムをベジェ曲線の制御点生成に適用することでしょう。これまでの蓄積の活用なわけであります。 まあ、ものは試しです…

これまでの連続だけれどいたるところで微分不可能な関数の続きとして、以前取り上げたスタインハウス関数を選択する。 ポーランドの偉大なる数学者スタインハウスは志賀の名著『無限への光芒』のはじめに登場する。これまで同様にｘとｙのペアとする。ｘの表…

オールズのアルゴリズムにて生成した多角形デザインを御覧じろ。なるたけ人為を排してシンプルな規則だけで多角形を生み出させるようにしている。 規則はシンプルとはいえ、人類が初めてお目にかかる形状も幾つかは創造されているのでなかろうか。 また、最…

これが如何なる曲線の式だか推測できましょうか？ ヒントは、４つ。 θを変数とする極座標での表現である θの変域は０〜π/4である φは定数である 身近でシンプルな曲線の一部である（誰もが知ってる） 答えは「円」、四分円です。ただし、中心点は原点にはあ…

同じ形状の楕円という制限つきではありますが、楕円上を転がる楕円をようやくと計算できた。 かなり時間を費やしてしまった。 下図のような原点に固定された楕円を考える。 この右はじにあたまを突き合わせた楕円があり、それが滑らずに固定楕円の上を転がる…

『リーマンのフラクタル』の続き。 この有限和ｎの媒介変数による図形を玩ぶ。 具体的には、uを-1から1まで変化させて、下式(x,y)が描く図形であります。上式でｋをｋ＋１に置き換えただけであります。 nを１から４５まで連続的に変化させた動画を作成した。…

１９世紀スイスの幾何学者ヤコブ・スタイナーは解析ぎらいの学者だったらしい。 空間の直観能力が図抜けていたのでしょう。高度な定理を多数生産しているのは、サスガであります。 その「反転」にはいつもお世話になります。 ですが、高等幾何がイマイチの現…

昨日の続きです。ワイエルシュトラスの関数とくれば、高木関数なのでしょうけど、ここではリーマン関数を取り上げます。ここで、リーマン関数がフラクタルというわけではなくイメージが似ているというだけです。 昨日のように二次元の媒介変数化して何が起き…

数学史的にはじめて、至るところ連続だけれど微分不可能な曲線の存在を証明したのがワイエルシュトラスだった。 気の毒にも、この偉大なるドイツの数学者は、中年すぎまでギムナジウムの教師に甘んじていた。 さて、肝心のワイエルシュトラス関数だ。 その定…

コラッツ予想は幾度か触れたけれど、自然数を与えて偶数なら2で割り、奇数ならば3倍して１を足す、これを繰り返せば「１」となるというのものです。まだ未解決です。 仮にこの操作をコラッツ操作と呼んでおこう。 結果の表示に先日、修得したTreeプロットを…

スモークマンさんのご要望にお答えする。 このブログへのコメントに引用されたづけ問題に関して、です。 図のような円の直径を底辺とする直角三角形があり、その斜辺以外の二辺に正三角形がある。その辺の長さは直角三角形のそれと同じとする。 ２つの正三角…