二次元の数列というと ｘ＝ｘ（ｋ） ｙ＝ｙ（ｋ） を順次、計算して点列として眺めるのが、お決まりのようだ。 それでは飽きたらず、極座標的な点列を円弧で結ぶことを考えてみた。 ｒ＝ｒ（ｋ） θ＝θ（ｋ） とするのは常識的なのでありますが、その先にある…

タイトルは難しいけど、有機的な図形を反復表示させたいというだけです。以前のブログでは単純図形（多角形）の反復パターンでした。今回は拡張したサンプルを呈示しておきます。 上の図でいえば、中央の花びらが原型です。スプライン曲線で定義されています…

三角関数による媒介変数が生成する図形で有名なのはリサージュ図形だ。 そのなかで優美な一族をほじくり出せたので、呈示しておきます。 ベルンシュタイン関数にヒントを得てデッチあげてます。均斉のとれた図形が多く産出できます。 三角関数のｎ倍角を対称…

次のようなフーリエ級数を（X,Y）について計算図示しよう。 一般的には、こう定義する。 邪道なことに出来上がりの図形だけを楽しむのが、ここでの流儀であります。 単純に、媒介変数表示とみなすのであります。 n=11ではこうなる。ｔ＝０〜２πで動かします…

正多角形がマイブームであります。 円での反転はドイツの偉大な幾何学者シュタイナーの裏ワザでした。困難な幾何学の定理を続々と発表したシュタイナーに同僚は舌を巻いたそうです。 わが和算家の学者たちも高度な幾何学の問題を解いていますが、反転の原理…

三角形の傍心というのを中学生は習う。内角に接するように円を置くのだけれど、正多角形でも同様なことができる。加えてそれらの傍心円をお互いに接するように並べることができる。 と思い立ってやってみた。 傍心円の半径は面積の総和を考えれば、即座に算…

ガードナーの『数学サーカス』にある三角形の問題は、見かけによらず厄介な問題です。 「エレガントな三角形」にあるその問題はこうです。 向かい合う垂直な壁に長さａとｂのはしごが立てかけてある。その交点の高さはｃである。 壁のあいだの距離はどうなる…

ヘロン数の三角形とは、３辺の長さと面積が整数になる、そんな三角形だとこのサイトで学習した。ピタゴラス数（自然数の辺となる直角三角形を与える自然数）の応用なのであろう。その式はこうであります。 p,q,rを整数として、そのような三角形の辺の長さと…

昨晩の続きの演習問題です。三角形を円がどのていど被覆するかという件です。頂点円の３つと内接円とで三角形を覆い被さる比率です。つまり、充填率です。 正三角形で最大になる？ いえいえ違います。逆になります。 計算に必要な三角形の要素を図示します。…

任意の三角形の各頂点に円を配し、それらの円を接するようにするのは比較的容易である。受験数学の標準的問題であります。 しかるに、下図のように中心にある内接円の位置と半径をもとめるのは、かなり過酷な問題であろう。それどころか、よほど腕に覚えがあ…

カプレカー操作については故マーチン・ガードナーの『数学ゲーム』のコーナーで初めてお目にかかっている。 ４桁の自然数で１１１１のようなすべて同じ数以外で、成立するのがこの「６１７４」への収束。 どうやるか。 「４５７２」でためそう。各桁の数字を…

昨日のお約束「正多角形の辺上の円」なのであります。これも和算のような試みです。もちろん、高校の数学でも可能です。 正ｎ角形のすべての辺上に円の中心をおき、お互いに接するようにしたら、どうなるかがセルフな問題です。うまくいきました。 例示して…

今回の作業は正多角形上の円の連鎖（頂点円）であります。上図のように、正多角形をあたえ頂点に円を置きます。その円が互いに接するようにおく、これだけです。 勢いで中心にそれらの円に接する円も描いています。 正多角形(nは角数)の外接円の半径＝１とす…

フォード円はファレイ数列の視覚化として唯一無二のものだ。 だが、いかんせん円の半径が急速に縮んでしまうのが残念だ。 ９のレベルでこんなに小さい。 前にも「反転」で単位円の内部に写像を試みたことがあった。今回は等角写像で挑戦してみよう。 用いた…

これまた以前のブログでのメソッドの再現です。 六角形がまなこに焼きついて離れないので、再生してまうぞ。幾何学的な意義はないけれどね。 六角形の収縮率は複素数なので、収縮とも伸張ともどちらも自在であります。

ピュタゴラスの定理を満足する整数解（m^2-n^2,2mn,m^2+n^2）を円の要素とみなそう。つまり、（m^2-n^2,2mn)を中心の座標。m^2+n^2を円の半径と考えるのですね。 以前に計算の結果イメージで出したように、接する円の連鎖が形成されるんです。 上図は半径が…

これまでの応用で、二次元の素数ペアの格子点（2,3）を中心とする円を自動配置するマスプレイをトライしてみる。 素数ペアの格子点の集合はこんなようなものとなる。{2, 2}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 7}, {2, 11}, {2, 13}, {2, 17}, {2, 19}, {2, 23}, {2, 29},…

ものの本によるとベッセル関数のとある値が連分数的にゆかしい表示がある。 この無限に続く連分数は変形ベッセル関数のｘ＝２の値の分数とこんな関係にあるという。これは、かなり有名な事象らしいですね。この値は「2.3087893730662400685．．．」となる。 …

例によって、なんのあてもなく調和級数に関することを（ＰＣに）計算させていると、やや不思議な関係に遭遇したのでメモしておきます。 はじめに、調和級数を一般化したこの関数から。 ｘは任意の数。自然数なら調和級数の和になります。区間[0,1]での面積に…

微分幾何学の曲線の章で習う自然方程式は扱いにくいので、あまり遊び手や計算マニアがいない定理であります。教科書の最初の方で習うのだけれども、ほとんどの教程では駆け足で通りすぎてスルーされてしまう寂しい定理ですね。 このような珍妙な形状の動画な…

ガウスの和に類似だが素朴な指数の次式は正多角形を表すのに、利用されている。 正三角形から正十角形まで同じ辺の長さ（＝１とする）の多角形を重ね書きするのに便利だ。これを正ニ十角形まで継続描画する。あるいは５０まで続ける。こうなると円と区別でき…

オイラー定数γの愛好家には興味深いかもしれないので、計算メモを残します。 以前このブログでも触れた調和級数の関数から出せる計算出力です。 その関数とは ここで、Γはガンマ関数です。ｘは任意の値で計算可能です。ｘが自然数では調和級数の和と関数値は…

メシアンの弟子であるギリシア人の音楽家クセナキス。現代音楽の代表者である彼は、もはや過去の人となった（2001年没） 確率論と積分方程式の調和するスペクトルの戯れを聴こうではないか。メタスタシス打楽器によるルボンド

ガウスの素数を類別してみるとどうなのか？ ガウス素数の絶対値の二乗をｎのモデュラスでフィルタリングしてみたので、お目にかけよう。 ｎの剰余類による識別というわけであります。 この手法は以前開示したように近接する素数との距離で半径を決め、半径の…

ピックオーバーの数学エンタ『オズの数学』（産業図書）は面食らう数学パズルが多い。娯楽パズルと計算力パズルと実験数学が入り交じっている。 フリント級数もどれともつかぬトピックスであろう。 三角関数のなかにナマの自然数が入り、自然数の三乗とかけ…

「摩擦抵抗なしの質点がカテナリー上を降下してゆくとその所要時間はどうなるか」とのスモークマン氏からのご質問。シミュレーションを所望されていたが、ここでは解析結果を示すことにします。 深さｈのカテナリー曲線であり、所要時間Tはトップダウンでこ…

オイラーの φ 関数について、スモークマン氏からの鋭角的なご質問があった。 x が1より大きい奇数の時、x はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在する事が知られている。φ(n)=xとなるnが存在するならば、それは少なくとも2…

ガウス素数を図示する時に感じる歯がゆさというのがありまして、それを解消するために日夜努力したresultsがこちらであります。 これが歯がゆさの元ネタ。ガウス素数が複素平面上に散布している有様です。 これはこれでとてもシンメトリカルで美しいのですが…