x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) や x^4-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)の円分多項式に現れる
ここのx^4+x^3+x^2+x+1の因子をとりあげて、その多数階微分=0の解がどのように出現するかを可視化してみましょう。
16次の方程式の場合、
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16=0
から開始します。
16階の微分の系列は下式のようになります。定数になるまで微分する。
これら方程式のすべての（数値）解を求めて、ガウス平面に表示するというのが目的です。それも点としではなく解集合を偏角順に線で結合します。解の多角形表示です。
円分方程式はガウス平面上の単位円上に解を持ちます。これは正多角形になります。
今回はそこからｘ＝1を除去しています。
例によってあまり数学的新規性はなく、価値もないけどどうなるかが知りたいだけです。
下図で外側の円は原点を中心とした単位円です。解を結合した多角形は次第に収縮してゆきます。最後は一点に収束しますね。
右側の歪みはx=1を除去しているせいです。ここに図形が現れているのが興味深い。
これを50次で実施したのが下図です。ちょっとbeautyでしょ！
おまけで100次の高次方程式の微分シリーズです。右側の図形は楕円っぽいですね。
【参考書】
代数学の教科書を眺めるうちに着想が湧くものですね。
下巻は幅広い応用の説明があります。
