三角形の重心から夢想した力任せの「定理」を考えた。下図のように三角形ABCと重心Gを置く。Ag、Bg、Cgはそれぞれの辺の中点であります。
このとき、三角形ABAgをA1とする。A1の重心も定義できる。以下、三角形AAgCをA2
のようにして、６個の三角形を定義できる。
我々はそれら６個の三角形の重心の生成する図形を調べた。
6個の重心を線分で結合しよう。対称性からして、以下のような並びが妥当である。
A1g A2g C1g C2g B1g B2g
添え字のgはそれぞれの三角形の重心を指す。
その結果生成される図形は下記のような六角形（オレンジ色）となる。Gは元の三角形の重心と一致するこが証明できる。
さて、この六角形の計量、すなわち、面積と周囲はどうなるであろうか？
面積は元の三角形の１／１２となる。周囲の長さは1/2である。どのような三角形においても一定であることも示せる。
やはり閉じた多角形が欲しいという願望もありそうなので、凸の六角形の結果も示しておく。
A1g B2g C1g A2g B1g C2g
上記の順番で各三角形の重心を連結してできるのが下図のような六角形である。
六角形の面積は元の三角形の１／６となる。周囲の長さは１／３である。
これがどのような三角形においても一定であることも示せる。
もう一つ追加しておこう。こちらのほうがより幾何学的定理っぽい。
上記の６個の重心は三角形の各辺の中点から生成される三角形AgBgCgの各辺を三等分している。
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入門でもなく廉価でもないが刺激を与えてくれるのは確か。数学マニアは知的刺激によって駆動されるようだ。
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