自然数の相乗平均は定義から、
スターリングの近似式を代入するとおおよその大きさが知れるわけだ。
あとで比較する素数の相乗平均との兼ね合いでｎで除しておこう。
1/e=0.367879.. となる。これは一種の極限値といえる。
うえに見習って、次の素数積の相乗平均を考えたくなるのは人情というものだ。
この積については便利な近似式がないものだから、計算機馬鹿力に頼るしかない。
自然数の相乗平均との兼ね合いで、Prime nで割っておく。ｎ番目の素数の意味だ。
昼夜兼行でn=100000000までの数値計算結果を得た。
0.34820280303736749202
先程の自然数ケースの1/e=0.367879に相当する数値（なんらかの定数）だ。
比較のために、平方数の同様な計算結果は
ことから、
となり、
となる。おおよそ0.135335となる。
この極限値の大小は何を語っているのだろう？ 平方数は素数より頻出度が少ないので、たぶん、おそらく、一種の密度を反映しているのではなかろうか？
ちなみに、素数の相加平均にかかわる自然数相加平均とのアナロジーがあるのはいうまでもない。
素数の相加平均の極限値を出す表式は次のようなものだ。ｎの二乗で割るのだ。
ｎまでの自然数の相加平均はｎで除すだけでいい。その極限値は1/2になる。
上記の素数の相加平均の極限値は怪しげな数値であるが、報告しておく。
n=99000000までの計算結果として、「9.92098....」となる。10未満の極限値を持つようだが、ほんとに9.92...程度に収束するかどうか心もとない。
これがその計算経過である。横軸はｎ。まだ、飽和していないような感じ？
自然数の極限の1/2と比べて、この数値はいったい何を語っているかも不明である。
相加平均≧相乗平均という観点で、対比するとますます分らんことになる。
つまり、自然数では 1/2≧1/e であった。素数では 9.92098....≧0.3482028030...だ。
