大仰なタイトルでありますが、三角形の反復系の続きです。 以下の複素数で定義された点列を三角形として表示してゆきます。 互いに接する二等辺三角形を順次、描いてゆくのであります。 zは二等辺三角形の頂点に対応します（複素数表示です）。θは初期の角度…

ｎを自然数として、次の三頂点(x,y)を考えよう。 これを最初の５つだけ描画してみる。 なんとも不揃いなノコギリだ。 懲りずに５０個まで描画する。 どのように見ても、ただの不細工な三角形の系列にすぎない。 その種明かしをするまえに、この三角形のシリ…

オヤオヤである。 今度は米国各地でオーロラだそうだ。ミシガン州、ジョージア州、アーカンソー州などかなり南の地域で１０月２５日にオーロラが観測された。 日本の大震災で忘れがちになるが、今年の北米大陸は聞きしに勝る天変地異続きであった。 まず、今…

専門家によればナポレオンの作戦は完璧だったとか。しかし、運命の女神は彼の没落を欲した。 「ワーテルローの戦い」の地である。 ベルギーのこの地にはライオンの塔が建つ。 大きな地図で見る 時は過ぎ去り、どこかの関係のない国でピアノ練習曲みたいに扱…

クラシック業界での女性作曲家は稀有だという。優れた演奏家が多いが作曲家がマレなのでありますが、マリオン・バウアーは例外的存在です。アメリカ人。Marion Bauer (1882-1955) なにが違うかはご自身で試聴し、鑑賞され、含味されたし。

スモークマンさんより次のようなご依頼をいただいた。 Σarctan(1/k) の図示をお願いできればと思いまして... 1/1 は直角二等辺三角形...1/2 はその斜辺を底辺にした直角三角形(1/斜辺の長さ=1/2) になるようにとる... 1/1+1/2+1/3 までで、ちょうど、arctan(…

フラクタルとは異なる、もそっと古典的な反復を実験しよう。 結果をご覧あれ。 二等辺直角三角形を順次、縮小回転させながら移動をさせたものだ。 縮小率は1/2で、回転角度は４５度。これを３０回くり返す。 三角形は重ならずにある座標に収束してゆくようだ…

平行四辺形には傾いている楕円は内接不可能であることから、証明してみよう。 (本証明は楕円の中心が原点にあると仮定しているのでかなり限定的であります)中心を原点におく楕円の一般式は下記となる。 平行四辺形も原点に中心をおこう。高さは2b、巾は2aと…

実のところ「ガブリエルのホーン」(Gabriel's Horn)というのが体積有限で表面積が無限の形状というのが、すでに存在する。 http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel's_Horn そうとは知らず自分で珍品を発見したつもりになっていた。 もとは調和級数の視覚化に…

楕円の中央に内接する曲率円が、上下ともに接するのはたった一つのケースだけだ。 偏心率＝曲率半径で、２の平方根の逆数に等しい時だけである。ただし、長軸＝１としている。 この特殊性は、きっとなんらかの均斉の予兆を示す楕円なのでありましょう。 つい…

このブログであれこれと漫然と、調和級数に挑んではや半年。これといった新規性はないけれど、見て理解できるような調和級数の表現を実装してみた。 一辺が1/nの正方形を次のように重ねる。 １）底に長さ＝１の正方形を１個置く ２）その上に長さ＝１／２の…

正方形に内接する円の系列は、見かけによらずややこしいことが判明したと信じます。 大学入試問題程度かと軽く見て、なんとなくやってみたのですが．．．。 いやーこれは人手に余る計算ですね。 目標は正方形に内接する円のこんな系列を算出することです。正…

調和級数で以下のような極限を考えてみた。 オイラーの定数γを知っている人であるなら、この極限値＝０とするだろうし、実際それは正しい。 この関数はｎ→無限大で、どのようにゼロに近づくであろうか。 であることは分かっている。 このブログでの結果を用…

同じ大きさの円で平面を周期的に埋めるのには、二通りの配置があります。 これと格子点上の円の中心を置くやり方と互い違いに置くやり方です。 充填を考えます。つまり、同じ面積にどれだけたくさん円を置けるかです。 これらの円の充填率には「隙間」の大き…

理系的センスのエコドライブをここで、強調＆吹聴してみたい。名付けて「ニュートニアン・エコドライブ」です。 力学法則にのっとりスムーズな運転を心がけるのであります。エコ・ドライブとは燃費を増大させるクルマの運転術というほどの意味であります。 …

円高、節電、国内消費の低迷。日本のメーカーには度重なるダメージが襲いかかっている。 そのため、国内企業の生産現場を海外にシフトする動きが盛んだ。 日本には本社機構だけを残し、企画開発機能を海外シフトするところも出てこよう。 そこで導入されるの…

ソフィー・ジェルマン素数とは、素数ｐとして２ｐ＋１も素数となるものをいう。 初めの百個の素数のうちソフィー・ジェルマン素数となるのは２６個である。 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233,239, 251, 281, 293, 359, 41…

空間曲線に接する球について正式な曲線論の結果を用いて更新する。こっちのほうが真っ当な理論に基づいているという意味であります。 まず、媒介変数表示の曲線の長さｓ、曲率半径ρの式、捩率の逆数τの式を出しておく（教科書にあるかも） 初等的とはいえ、…

空間曲線、ここでは螺旋に接する球は、二次元の議論と同じでよい。 曲率と曲率中心さえ求めれば、いいようだ。捩率は関係ない。ｚ軸にそって伸び上がる一様螺旋を考えよう。 この曲率は次の式から計算できる。 ここでｓはこうなる。 接線ベクトルｔと法線ベ…

ビリヤード運動の続きであります。ケーニッヒ・ズレクの定理より速度ベクトルの成分が互いに 無比的、有理因数がないと軌跡は全空間を覆いつくします。稠密になるわけです。別名では「エルゴード的」だとも表現します。前々回に示したケースです。 １００秒…

昨日ブログの続きです。 本来ならば平面内のビリヤード球の軌跡から入るはずであったけど、そんなに難易度は変わらないので、そのままにします。 二次元の正方形内（辺が１）でも同じ関数の適用で軌跡は表示できます。この式で計算してみましょ！ 軌跡の式。…

応用数学とも純粋数学ともつかない中間領域での数学の典型は、ケーニッヒとズレクの「立方体内に投擲された球の運動」だろう。つまりは、無重力状態で無限回反射する無限小の球の軌跡の研究だ。 無重力ビリヤード台のシミュレータだと考えていただこう。 ケ…

何度となく計算ミスを連発しながら、なんとか「平面曲線に内接する円の系列について」の方法をまとめつつあります。 何のことやら理解できないという方々もいるでしょう。 それはこんなことです。百聞は一見にしかず。 任意の楕円とその内接円を一つ与え、楕…