プラトンの正多面体、すなわち正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体が、同一の球に内接するとしよう。球の半径は「１」としておく。
どの多面体が最大の表面積であろうか？
言い換えると、外接球の面積に一番近くなる正多面体はどれか？
正四面体 立方体
正八面体 正十二面体
正二十面体
二次元の正多角形と外接円の類推に頼ると面数が大きいほど球面に近づく、すなわち最大になると推測するのが普通であろう。
結果を示す。
上から、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体の学術名ですね。
注意点は「外接球の半径」の意味。これがWikipediaに記載されている。面の一辺＝１としたときの半径である。この数値でWikipediaの表面積をスケーリングしても求める解になる。
右列の「正多面体の表面積」は外接球の半径＝１とした場合の表面積である。
横軸に面の数をおいて、縦軸に表面積をプロットしたのが下図であります。もちろん、球面積＝4π以下でありますが、正十二面体は10以上でいい感じの値になる。
つまり、直感に反して正十二面体が最大の表面積になるわけです。
二次元の正多角形は辺数をいくらでも増やせたが、3次元では5つでおしまい。けれどもプラトン多面体以外にもアルキメデス多面体なるクラスがありまして、13種ある。これは面が２種類の正多角形からなるものだ。また、ザルガラー多面体なるクラスが規則性クラスの最大だという。
