マクローリン展開からの逸脱

 x=0の近傍で微分可能な関数は下式に展開されるというのは高校で習った。     

      

例えば、指数関数は       

      となるが、

この分母を細工して、項を追加した場合はどんな関数(陽な表示)になるだろう?

      

式の変形でこうなるのがわかる。      

 

では、これはどうか?

      

受験数学的だけれども、三角関数のバリエーションもある。

      

結果はこんな感じ。

        三角関数の結果が代数的でないと陽表現にはならないだろう。

 この関数のグラフだ。

 

 ちょっとした変形なのに陽な結果がだせそうにないのが、これだ。分母の1がなければ、シンプルな分数式になる。

     

あるいは二項係数 Cを含む下式。

     

あるいは、手練な人ならなにかに結びつけることは可能かもしれない。

 この関数のm=1から10までをグラフ化しておきます。