NHKでやってた「笑わない数学第 2 シリーズ バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想」はシンプルで学びがあった。ミレニアム問題で懸賞金つきの難問なのだとか。 BSD予想はつまりは楕円曲線上の有理点についての予想なのだ。 であるけれど、BSD予想は生まれ…

いわゆるピュタゴラス三つ組で小賢しい計算をしてみました。 pとqに自然数を順次入力したものをピュタゴラス三つ組と呼ぶとします。 ja.wikipedia.org これは三次元空間上の点列になる。第一象限（x,y,z>0）だけを扱いましょう。 pとqをそれぞれ１から１０ま…

双子素数は差分が２である素数の対を指します。 始めの１０個はこんな感じです。３と５から開始します。 {3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {59, 61}, {71, 73}, {101, 103}, {107, 109} 無限個あるかどうかは証明されてはいませんが…

代数や解析は記法に依存する部分があって、どのように既存の記法に基づいて書き下せばいいのか迷ってしまうようなケースは数学的思考もままならない。 その一例を示そうと思う。下記のような分数式をとる。 ここで、次のような置換をしよう。 すると次式とな…

２０２４年１１月時点では円周率は百兆桁まで計算されているようだ。 なんでも岩尾エマはるか氏という日本人女性が記録保持者なのだとか。 和算家の人々が聞いたらさぞかし喜んだであろう。 ja.wikipedia.org ここでは小数点展開に０が十回連続して出現する…

ダブル連分数とはこんな表式です。 はじまりは、 次の置換を繰り返す。 で、さらには というような無駄に反復を行う、その先にどのような未来があるかを見たいというのがささやかな願望です。 いつものように収束性や一意性には気をかけず気ままに計算します…

ファレイ数列は数学マニアにとっては宝剣のようなものです。 五番目のファレイ数列は {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1} となります。 生成ロジックはシンプルなので、説明はWikiにお任せします。 ja.wikipedia.org そこはかとない疑問か…

群論（抽象代数）の勉強をしているとき、ある証明の一部で次式が使われているのが気になったので計算してみました。 ｎ以下の自然数組み合わせでゼロ以外の差分のすべての積と言い表されるのです。 ｎが15まででの計算結果であります。 1, -1, -4, 144, 8294…

先月（２０２４年1０月）に最大の素数の記録が更新されたけれど、それは常連様のメルセンヌ素数でした。 ５２個あるメルセンヌ素数Mpの系列はWikiにも記載されています。 ja.wikipedia.org Mp=2^p-1でMpが素数となるｐに注目しましょう。このｐは素数でなけ…

ガンマ関数のマニアがいるとしたら自分はその一人であろうと思います。 今回も暇に飽かせてガンマ関数の気ままな数値計算をしました、 手始めにｘが０から３までのふるまいをプロット。 １＜ｘ＜２ではガンマ関数の値は１未満になります。 従いまして、下記…

前回「円周率とレムニスケート定数並びに無限積」の継続です。 下記のような関係式に思い到りました。 ここで、ｍとｎは自然数とします。 Λはｍとｎを指数をもつ√2に関した無理数ですね。 こんな感じです。右辺は無限積の中身を通分しただけです。 一挙に試…

円周率のウォリスの公式というのが知られている。 これお変形して次式にする。 ガウスはレムニスケートの周長を計算しています。 まず、レムニスケートの極座標での式と図形を表示。 その周長は以下の定積分に等しい。 ガウスが注目したのは円周の定積分との…

ぼんやり近藤＋井関の『近代数学 下』を読んでいたら、アーベルの書簡で下記の日付が目に入った。 仲間うちへの手紙の茶気に富んだ表現だ。 大凡、1823.5908となることは関数電卓を持っていれば出せる。 1823年5月9日付けなわけです。 これをアーベルはどう…

黄金比を使ってフロア関数で自然数ｋを動かす時、生成される自然数をビーティ数列という。これはレイリーの定理との関連で以前にも触れたと思う。 すなわち、 として なる数列は1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32..…

ここで考察していきたいのは下記のような反復系列であります。 四角形Z1Z2Z3Z4の各辺をα対1-αで分割する。そこで生まれる四角形Z'1Z'2Z'3Z'4とする。 新しい内点の計算は複素数での表示では次式でできるわけであります。 自分の願望はこれを繰り返したい、只…

ある日、この無限積について興味を感じて計算をしてみた。n→∞になると P=1.1733570381920722607082605... となるのだが、勤勉なる数学の専門家たちはもっと究めておりました。 ｐは下記の数列和の極限と関係があることは容易に推察できるであろう。 実のとこ…

本日のお題は、1+2+3+.......+z=z(z+1)/2に始まる。z=0 or -1がゼロ点だ。これはもっと拡げて考えると少しは興味が湧くであろう。 自然数の冪常和の式は1乗から20乗までについて、下記のようになる。 小さすぎるので、４乗和の多項式を表示しよう。 右辺の多…

いつものように数学的厳密性を度外視して軽やかに数式と戯れることにします。 αを定数として等比級数の和を考えます。 以下同様にして、 と収束性の判定を無視して連綿と続けられる。 具体的なSの値はこのようになります。 ここらで変なことになっている。 …

高校数学レベルの見かけの数列の解法かと思いきや、存外なハード問題の一つであります。 次の漸化式の解を求めるのであります。ここでｓは自然数なのです。 このs=1から10までの解析解を以下に示します。 Mathematicaのパワーに依存した労苦でありますので、…

先日の続きの無限積の散策であります。オイラーが好みそうな無限との戯れです。 ちょっぴり手抜きをして数学公式集より、 これらを組み合わせるとチョットいい感じの式になります。 奇数の無限和と無限積の積が右辺の自然数の逆数の積に結び付く。 であるな…

ワイエルシュトラス（Weierstrass）の乗積表示はガンマ関数ファンとしては外せない存在です。 見事な式であります。オイラーの定数γが含まれている。 まるで、ガンマの親子丼ですな！ この式をつかえば次の極限を示せるでしょう。 実際に手で計算された方は…

ヘグナー数とは -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163 の９つです。代数的整数でを含む、いわゆる二次体というグループがあります。 その中でも因数分解が成立するのは上記の9つだけだというのが証明されている。 d=-1がガウス整数、d=-3はそれぞれ発見者に因ん…

意味不明のタイトルで書きだしました。おいおい説明します。 判明している最大素数の業界では次のメルセンヌ素数がセレブのトップであります。 ここで、Mpが素数なら、ｐは素数である。けれどもｐが素数であったとしてもMpが必ずしも素数ではないことが後で…

天気予報、株価予測、ガン患者の生存率、競馬など賭け事、洪水の管理、保険の料金など世の中では確率のことばで語られるものは多い。量子力学などは確率計算そのものだし、最近流行りの大規模言語モデルは確率モデルだ。 情報社会は「予測マシン」で動いてい…

かねてより気になっていたゼータ関数の数値計算をまとめておきます。 ゼータ関数とは、もちろんリーマンのゼータ関数です。 ja.wikipedia.org まず、このような積はどうふるまうのだろうか？ これらは、いずれも急速に収束すると期待される。 それぞれ、こん…

びっくりマークとも呼ばれ親しまれているが、数学記号で！は話題性があるらしい。さて、同じく階乗のマークだが、!! というのもある。 二重階乗と言い習わされるらしい。 5!!= 1*3*5 8!!=2*4*6*8 のように差分が２での階乗だ。 こいつらにスターリング近似式…

ｎの階乗の近似式で有名なスターリングの式はそれこそ物理系ならいつもお目にかかるほどなじみの近似式であります。 これほどのセレブではない近似式をお披露目します。 次の式にまつわる近似式です。 まず、使うことはないと思いますけれども、せっかくだか…

さてさて、いつものように主題からは内容が推察できない。 しかし、下の等式をEulerの黄金の式とここでは呼び、 その原型である次の公式を巡る漫遊であることは保証する。 これは複素平面では原点を中心におく単位円になることは周知であるとしよう。 その面…

手元に『ビジュアルリーマン予想入門』なる魅惑的な本がある。そのラストチャプターが「素数で輝く」なる瞠目の数値計算の章だ。 リーマン予想では下記のようなゼロ点集合ρが存在すると主張する。 Θはゼータ関数の解を与える実数である。これを使って、上記…

近代数学の3つのエポックメーキングな発想と発見は、解析幾何と確率論、それに数論ということになろう。 まさに17世紀の天才の世紀の創造力の結晶である。 そして、これらは、いずれも同時代のフランスの3人によって、為されたというのは、数学史上の奇遇と…