難しいお題だが、単純な計算であります。 ｒ＝θのような極座標表示の曲線で、右辺をフーリエ級数にしてみたら、どうなるかの数値実験です。項数を増やせば原型の曲線に近づくのでしょうが、どう接近するかが見物であります。直交座標ではなく極座標でやるの…

六角形でお遊戯しよう！もはやコメント不要の戯れでござい。 いい加減な写像関数で出てくるのはどうも見栄えがしません。 そうはいいつつもやはり複素関数で構成するとやや秩序正しくなります。 これは複素関数がラプラス方程式を満たしているがゆえに「調和…

また、どうでもいい関数を考えついてしまった。 EulerPhiは数論のオイラー関数。 切り上げ整数(ｔ)はｔ以上で最小の整数を、切り捨て整数(ｔ)はｔ以下で最大の整数（ガウスの記号のようなもの）を返す。 ｘ＝EulerPhi(切り上げ整数(ｔ)) ｙ＝EulerPhi(切り捨…

多角形を連続的に縮小・回転させながら頂点に接続するという試みは５回目となった。 正六角形の収縮模様に戻ろう。 これまでのところ、下記のような模様は容易にｇｅｔできる。 だが、あまりセンスがいい模様とは言えないようだ。 正の数には見切りをつける…

五角形になると変異形が幾つもありうる。何個かそのバリエーションを味わうとしよう。五角形の頂点を一つ飛びに結合すると星型になる。 星型でも昨日までのアルゴリズムは応用可能である。 クリスマスシーズンに向けて何種類か計算しておこう。 ヘルマン・ワ…

前回に引き続き五角形であります。収縮とありますが、虚数倍や負数倍も含んでいます。 最初に、正五角形の負数倍−０．４のケースを幾つか紹介しますか。２： ３： ４：それぞれが、2回目、3回目、4回目の反復を独立に描画してます。一遍に描画すると、黒のま…

さて、昨日の続きでありますが、三角形のみならず四角形で同様な連縮反復を行うのであります。 手法はおんなじであります。 四角形の頂点｛１，２，３，４｝に対して下記のような組み合わせを生成し、それが四角形の中心を算出する複素数列に変換される、の…

１１月１７日の本ブログでモノした「大した話ではない数の列の生成」が導く結果を説明しましょうか。 この２４個の数字のセットは、２４個の三角形の中心を計算するための数の組み合わせであります。 オリジナルの三角形の頂点１、頂点２、頂点３の座標をこ…

いまだに電子書籍ビジネスの夜明けがこない。そんな状況下でも「自炊」は次第に定着してきている。 これは、津野梅太郎氏が、さる１１月の新聞紙で論評したことであります。 その上で参考になるのは前田塁氏の論説だった。電子化の流れを総括し、現状を把握…

いつものようにたいした話ではないが、次のような性質をもつ数列の作成に挑んだ。 （1,2,3）からなる自由列が増殖してゆく。その増殖の仕方であります。 二個の組みの時はこうなる。 {{1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}} 三個の組みではこうな…

円周率を連分数展開して現れる数には規則性がないと言われている。{3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1} これは次ような伝統的表現と同じであるとしますね。 連分数のなかに１が5回、2が１回、3も一回出ている。では全体としてどんな振る舞い、分布になるかが…

タイトルに比して内容はない。24時間計算し16万ケースほどサーチしたが、 下記の２ケースしかなかった。1+3+3*3+3*3*3+3*3*3*3=11^2=121 1+7+7*7+7*7*7=20^2=400 これ以外に指数和が平方数となる場合があるだろうか？ 1+288=17^2=289のような二項の和は除く…

図形の周期パターンの検討過程での副産物であります。子どものお絵かきみたいなものです（スパイログライフとか） 正三角形を縮小しつつ直角に回転してゆくのを重ね書きします。 正五角形でも同じ方式で描画します。 数を増やせばこうです。 あるいは正１１…

それはシュヴァルツ=クリストッフェル変換で可能である。しかし、今井功の流体数学法でシンプルに変換の積分は導出できる。氏は流体力学の権威でありました。 ζを複素変数とした次のような被積分関数が今井の方法から出る。 ここで、ｐは１から４を動く自然…

見当違いな使命感から、複素関数における特異点の事例を視覚化してみます。 Ｅｘｐ（１／ｚ）の名だたる特異点はｚ＝０です。 ローラン展開すればわかるように、 この級数から、ｚ→０にて無際限にｚが発散しまくるのは、なんとはなしに理解できましょう。 こ…

かつての家電王国・日本の面影は消えつつある。垂直統合型の製造モデルは競争力を喪失した。 EMSを使わない日本の家電メーカは赤字に追い込まれた。EMSとはElectronics Manufacturing Serviceで電子機器のOEMとODM（設計まで含む）を一括して受託する企業の…

わけもなく無理数を有理数（分数）に分解してみたくなったのであります。ルート３を1/n^2の分数の和にして近似するなどという不条理な計算をしてみることを意味します。 結果を示しておきましょう。 1+2/4+18/81+1/121+1/676+1/11881+1/1505529+1/4702530625…

円の外周を転がる円の軌跡は外サイクロイド（エピサイクロイド）として大学の授業でも取り上げられることがある。ここでは、楕円の外周を転がるとどうなるかをトライしてみた。 楕円は原点に中心があり、a=1,b=(1-e^2)^1/2とする。偏心率eとなる。その楕円の…

調和級数を組み込んだ直角三角形の連鎖で戯れてみましょう。 意図するのは下図のごとき直角三角形の積み重ねであります。 外側の辺が1/kとなる直角三角形である。左隅の角は原点である。 明らかに外周は発散するのであるけれども、 原点からの距離はπ/Root(6…

自然数の辺からなる長方形を正方形に自動分割する。連分数はそれに役立つことを見ておこう。 横１７×縦３８の長方形を正方形に分割した例が下図となる。１０個の正方形の辺と個数は {17,17,4,4,4,4,1,1,1,1}であります。辺の長さ１７が二個、４が４個、１が…

『単位円を囲む円の充填率』の応用であります。 手順はこうです。 １）同心円を囲む互いに接する円の連鎖を構成する（単位円を囲む円と同じ） ２）メビウス変換（反転）を用いて同心円ではない円に写像する複素数を使いますが、やり方は簡単であります。 ２…

中心の単位円を囲むｎ個の等半径の円の中心は正ｎ角形となる。 さて、今回のテーマは正ｎ角形を円が最大に埋める比率＝充填率がｎでどのように変わるか、であります。 単位円を囲むｎ個の円がすき間なく外接する時、その円の半径は次式となります。単位円の…

今度も、スモークマンさんより創意に富むご質問をいただいた。 自分の計算機パワーだけでなんとかなりそうなので、トライした結果を示します。 ピックの定理見てて...方眼を極小にして行けば...円周も対角線に近似できるから、円の面積=円周率πが求められる…