自然数ではコラッツの予想なるものがあるようだ。 x/2 x:even 3x+1 x:odd これを任意の自然数ｘについて反復すると必ず「１」になるというのが、その予想。 今のところ反例はないそうであります。また、その証明に誰も成功してはいないようだ。 ガウス整数で…

とりたてて興味深くもないけれど、暇つぶし計算の結果をメモしてみます。 双曲線のy=1/x & y=-1/xに挟まれる正方形の系列を計算してやります。X1=１としておきます。 ｎ番目の正方形の右側のｘ座標は、こんな漸化式になりますね。 簡単な式ですが残念ながら…

これもまた飽くなき探究というものであろう。誰もみたことがないと信じて４乗和のイメージを生成してみる。 式はこうである。 ｍ固定でｌを０からｍ−１まで順次動かすときに生まれる複素列を線で結合するだけであります。 ここでもやはり一般自然数と素数と…

昨日の続きであります。 ガウスの和の結果ではなく、経過を数列としてみてやろうという試みです。 ガウスの和で、二乗和ではなく三乗和としたくなるのが人情というものであろう。 こうなると集合的な模様はなくなり、自然数一つ一つの個性が強烈になるようだ…

昨日の[線列としての複素数列]の応用例を示そうかな。 あのお遊びも役に立たなそうで立つのであります。おそらくは教育的事例として参考になるでしょう。 ガウスが平方剰余の相互法則を証明するときに遭遇した複素数の和がある。それが今回のターゲットであ…

複素数列の別の側面を図示してみようか。このような調和級数もどきで試してみよう。注意すべきは二重数列であることであります。 一万個の点列の結ぼれを二通り示す。自然数ｍとｎを独立に動かしてゆく二重数列であります。 その計算の順序を変えたわけであ…

楕円による平面充填のヒネリを一つ。 横置き楕円と縦置き楕円を交互に配置するものであります。 同一の偏心率の楕円を等間隔におく単純なパターンである。縦置き楕円も横置き楕円も同じ間隔にしてある。横軸の長さａを１としている。 こうした配列の条件での…

いささか食傷気味だけれど調和級数の視覚化を続ける。 今度は正方形であります。 説明するよりも、まず、視覚化の結果例をご覧下され。 単位面積の正方形から開始。４５度回転した一辺1/2の正方形を右はじに重ねる。ついで一辺1/３の正方形をさらに４５度回…

性懲りもなく調和級数であります。和算的な円の系列をいくつかトライするであります。よって高等遊戯であり、非生産的な計算幾何でありますが、はじめから何かの応用を考えるのはG.H.ハーディに従えば邪道なのそうです。 単位球（半径＝１）を原点におき、半…

ガウス平面をガウス素数で分割してみよう。 はじめに計算幾何学の標準的な三角形分割を適用してみます。ガウス素数の範囲は実数部も虚数部も絶対値が１０以内とします。 三角形が多すぎてウザいかもしれないですん。同様な範囲でボロノイ図を生成してみます…

戦前から戦中にかけて日本の近代数学は、後進国としては驚異的に発展する。それをわざわざ取り上げて、ブラバキ派のデュドネが同時期のポーランド数学と並べているくらいだ。 伊藤清の確率微分方程式もその一つだけど、金融工学での応用がさらに功績と重要性…

先日の継続計算ですわ。ルジャンドル関数を組み込んでみても、どないにもならない。 不定形にしてみても非芸術的です。 やはり初心にもどり ([Alpha] Exp[I [Pi]])^i の変換を反復するだけの形状が面白みがあるようだ。 このケースはほんの僅かな歪みを与え…

ひと月前くらいに構成した複素多角形の再帰パターンをリプレイしてみる。 要するに、三角形を複素数倍してガウス平面におとしたものだ。ニ色にしたほうが味わいがある。 任意の正多角形を反復するだけの単純なアルゴリズムだけど、かなり楽しめるのでありま…

以下のような複素数列の点列をトレースしてみよう。 あるいは必ずしも秩序ある軌跡となるわけではない。 こうなることもある。 むしろ接続しないほうが、いいかもしれない。 次の積はシンプルであるけれど、誰もどのような軌跡となるかは知られていないかも…

わざわざ分数を連分数に直すのは、無駄というものであろう。 だからこそ、試してみるのであります。 最初に手をつけるのは、お馴染みの調和級数であります。 Hn＝1+1/2+1/3+1/4+.......1/nこれを連分数にしてみようか。H1＝{1} H2＝{1, 2} H3＝{1, 1, 5} ： …

対数はスコットランド貴族のジョン・ネピア男爵によって、一から創りだされた。つまりは、ギリシア・ローマ由来でもなければ、アラビア科学の伝統とも無縁である。 それが不思議であります。カジョリによれば近代算術の三大発明とは「インド記法、小数、対数…

ウェルズの『数の事典』（1986）を眺めていたら、 １０！＝６！７！ これ以外には、階乗数の分解は見つかっていないとあった。 ただし、(n!)!=n! (n!-1)!は自明なので除外するそうだ。 早速、１００万ケースを探索してみたところ、「一個もなし！」でありま…

球面を裏返すことが出来る。スメールの証明を動画にしたものがある。

１２月２日の「多角形内を複数の凸多角形で埋め尽くす 」の拡張版であります。前回はｚ軸周りの回転しか取り扱わなかったので、多角形を多角形で埋め尽くす、というよりも正多面体を上から見たような印象が強すぎた。 ｚ軸回転に加えてｙ軸回転をすることで…

ずるいやり方で多角形内を複数の凸多角形ですき間なく埋め込みしてみよう。 そのやり方とは、多面体を利用するのあります。 多面体を中心を通る平面で分割して、その上半分だけを平面に投映すれば「あ〜ら不思議」でもなんでもないけれど、多角形内を複数の…

自炊経験者であるなら自明に近いのですが、辞典・辞書を電子化するとセルフメードの電子辞書をつくれるんですね。その経験談を書いておきます。 今回の自炊による電子辞書化の対象は次の二冊。めったに引くことがない辞典であります。 １）『小口偉一・堀一…