2018-06-01から1ヶ月間の記事一覧

楕円の底に内接して動く「棒」とその包絡線について

楕円の底に長さlの棒が内接するとしよう。その棒はどのような「直線」となるであろうか? また、包絡線はどうなるかを試算してみたわけ。 最近気になる、ほうれい線ではなく、「包絡線(envelope)」であります。 まず、変数を下図で示す。楕円の下半分に内接…

虚数のパスカル三角形の変異の一つ

パスカル三角形をご存じであるとしよう。以下のような自然数の生成である。それぞれが二項係数になっている。n段目の前からk番目の二項係数(n,k)だ。これを虚数の指数に適用する。(n,k)は二項係数でありますな。上記の三角形に対応する計算結果を示す。…

虚数のタワーの極限値

虚数のタワーとは虚数の指数の反復操作を意味している。i^i、(i^i)^iのような以下の列をご覧あれ。もちろん、「i」とは虚数です。これを計算すれば必ず複素数になります。 この虚数のタワーをガウス平面におとしてみたのが下図(以前も同様な計算してました…

EulerによるEuler定数のイントロ

かのレオンハルト・オイラーの全集は、完成まではまだまだ遠い、とかいう噂をだいぶ前に聞いた。 この数学者にまつわる定理、公式、計算の数は膨大だけれども、やはりオイラーの定数は一番、気になる神秘的な数である。 彼の研究でオイラーの定数の最初の姿…

二重級数和の答えは?

次の階乗が含まれる二重級数の和の極限値を考えよう。 この数値は「4.194528049465325113615213730287504...」となる。実はネピア数(自然対数の底)を使い簡単な結果に等しいことがわかってる。 これを導出できるか、というのが問題。 答えは数日中に下に書…

とある単純な予想 素数逆数和の幻想 Conjecture & Illusion on the sum of reciprocal prime number

高等数学というほどでもない無限級数の和は18世紀にその極限値がLog2と知られていた。自然数の逆数の交替級数だ。 極限値は初等関数である自然対数に関係するのだ。この数値は「0.6931471805599453094172321214581765680」である。それならば、素数の逆数…

ある恒等式の織りなす有理点列

1936年にマーラーが次の恒等式を発見した。これを使えば「1」を無数の有理数の3乗和で表現できるわけであります。 ある意味、20世紀になっても新しい恒等式が出てくるのがスゴイです。まだいくつも未発見な初等的恒等式が眠っておるのでしょうな。 さてで、…