楕円の底に長さｌの棒が内接するとしよう。その棒はどのような「直線」となるであろうか？ また、包絡線はどうなるかを試算してみたわけ。 最近気になる、ほうれい線ではなく、「包絡線(envelope)」であります。 まず、変数を下図で示す。楕円の下半分に内接…

パスカル三角形をご存じであるとしよう。以下のような自然数の生成である。それぞれが二項係数になっている。ｎ段目の前からk番目の二項係数（n,k）だ。これを虚数の指数に適用する。（n,k）は二項係数でありますな。上記の三角形に対応する計算結果を示す。…

虚数のタワーとは虚数の指数の反復操作を意味している。i^i、(i^i)^iのような以下の列をご覧あれ。もちろん、「i」とは虚数です。これを計算すれば必ず複素数になります。 この虚数のタワーをガウス平面におとしてみたのが下図（以前も同様な計算してました…

かのレオンハルト・オイラーの全集は、完成まではまだまだ遠い、とかいう噂をだいぶ前に聞いた。 この数学者にまつわる定理、公式、計算の数は膨大だけれども、やはりオイラーの定数は一番、気になる神秘的な数である。 彼の研究でオイラーの定数の最初の姿…

次の階乗が含まれる二重級数の和の極限値を考えよう。 この数値は「4.194528049465325113615213730287504...」となる。実はネピア数（自然対数の底）を使い簡単な結果に等しいことがわかってる。 これを導出できるか、というのが問題。 答えは数日中に下に書…

高等数学というほどでもない無限級数の和は１８世紀にその極限値がLog２と知られていた。自然数の逆数の交替級数だ。 極限値は初等関数である自然対数に関係するのだ。この数値は「0.6931471805599453094172321214581765680」である。それならば、素数の逆数…

1936年にマーラーが次の恒等式を発見した。これを使えば「１」を無数の有理数の3乗和で表現できるわけであります。 ある意味、20世紀になっても新しい恒等式が出てくるのがスゴイです。まだいくつも未発見な初等的恒等式が眠っておるのでしょうな。 さてで、…