ラマヌジャン予想の検算

　すでにドリーニュにより証明された「ラマヌジャン予想」とやらを検算してみた。
「無限の天才」と呼称されたラマヌジャンの思考の片鱗なりとも理解できるかもしれない。

　その予想とは、次の関数⊿を考える。

これをｘでマクローリン展開するときの係数τを考える。

　ｎが素数ｐであるときに下式が成立するというのが「ラマヌジャン予想」だ。

　なんでこんな関数と係数の予想をたてたかは、ここでは問わない。単に計算で強引にどんな数値となるかを検算するだけを目標にする。

　⊿の展開を試算してみるとしよう。

　ここでｘの素数乗だけを取り出すのだ。｛ｘの指数、その係数｝として、最初の１６対を取り出してみようか。

{2, -24}, {3, 252}, {5, 4830}, {7, -16744}, {11, 534612}, {13, -577738}, {17, -6905934}, {19, 10661420}, {23, 18643272}, {29, 128406630}, {31, -52843168}, {37, -182213314}, {41, 308120442}, {43, -17125708}, {47, 2687348496}, {53, -1596055698}

　かなり巨大な数が正負に分かれて出てくる。これらがラマヌジャンの予想に従うか
どうかが垣間見れればいい。

　それは簡単だ。
下図で紫色がｐの11/2乗の計算値で、青色の点は係数（正の値だけ）である。

　ラマヌジャンが夢想したごとく（彼は証明などしなかったので）不等式はこの範囲では満たされているかのようだ。
　夜ごとに女神カーリーが、彼にこうした巨大数計算をヴェイルの彼方に啓示してくれたのだろうか。

オイラー、リーマン、ラマヌジャン―時空を超えた数学者の接点 (岩波科学ライブラリー)

無限の天才