びっくりマークとも呼ばれ親しまれているが、数学記号で！は話題性があるらしい。さて、同じく階乗のマークだが、!! というのもある。
二重階乗と言い習わされるらしい。
5!!= 1*3*5
8!!=2*4*6*8
のように差分が２での階乗だ。
こいつらにスターリング近似式をぶっこんでみます。
まず、下の式は自明であろう。
以上より、
これを簡約すれば、求めたかった近似式が出せる。
2n!!の近似式と比較するとそれ自体が面白い。偶数の階乗と奇数の階乗の差異に円周率が関係するのだ。
この事実を踏まえて円周率の近似式に進む。
上記の式を組み合わせると次式が導出できる。
ｎが大きければ二重階乗から円周率が計算できるわけだ。無論、実用性は皆無だと強調しておこう。
自然数の巨大数の比から円周率が生み出される点が妙味である。
数値計算的には確認してみた。
n=10000で、ようやく3.1416711943878561431くらいになる。実用性はないわけだ。
【参考文献】
上記の算出方法はウォリスの式に近いようだ。
円周率の計算法は下記の本などからするとピタゴラスの定理に次いで、種類がおおいのではなかろうか。
