凹んだ代数閉曲線

　本日はお日和もいいので、趣向をやや変更して代数曲線で閉曲線となるものの面積を計算してみる。

　次の四次の曲線は凹んだ閉曲線を与える。

　a=b=1ではこうなるよ。

　ｘ軸との交点は√2 a, y軸との交点は√2 bとなることが示せる。

　a=3,b=2ではこうなるよ。

面積に関しては、興味深いことに厳密解が得られる。極座標系での積分で面積を計算すると簡単に出せるので、腕におぼえありの諸兄も試算されるとよい。シンプルで美しい結果を再体験できる。

　

　a=15,b=3ではこうなるのだよ。

　先の面積の式から、

となると単位円の面積πと等しくなることが分かる。両方を重ね書きしておくとしよう。

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　大学時代からの岩波全書を引っ張りだして参照した。今どき、誰がこんな本を紐解くかな。

数学公式〈第1〉微分積分・平面曲線 (1956年) (岩波全書)