素数にまつわる数列からの素数

　今しがた、こんな数列の二種を考えてみた。

１）
２）

　つまり、素数の逆数の和、素数の逆数の交代和に素数だけの階乗を乗算した数列であります。
　例を出しておこう。

　これらはどれもこれも自然数となるは自明としておきましょうか。
試算してみるのも悪くないでしょう。

　最初の１）はこんな数列となります。

1, 5, 31, 247, 2927, 40361, 716167, 14117683, 334406399, 9920878441, 314016924901, 11819186711467, 492007393304957, 21460568175640361, 1021729465586766997, 54766551458687142251, 3263815694539731437539, 201015517717077830328949, 13585328068403621603022853, 972416614407737400870501653, 71544353681891529224514036059, 5692733621468679832887230172131．．．．．．．

　次の数列２）のほうはこうですな。

1, 1, 11, 47, 727, 7141, 151427, 2366603, 64131559, 1636722341, 57208085801, 1916138684507, 85982424199597, 3392993977055461, 172553478253276697, 8530444564835173531, 535885387802465283059, 30766248305796169627529, 2178627017847750336027713．．．．．．．

これら２系列の数列にはどちらが多く、素数が含まれているだろうか？

　他愛のない実験数学ですが、二番目の数列のほうが素数が多いような下馬評です。

　最初の５０個での結果をだしておきますわい。

１）　８個
２）　６個

　最初の１００個となるとその差は開きます。

１）　１３個
２）　８個

　まあ、なんとなく一番目の数列のほうが勝ちそうですね。

　最初の２００個となるとその差は縮まります。

１）　１４個
２）　１２個
　
　３００個以上でしばらくサーチしてもこれ以上の素数は出てこない感じでした。
その後、時間をかけて最初の１０００個までの素数をカウントしてみました。
下図はその計算結果です。
　

　青い線が１）の数列の素数の数、紫の線が２）のそれです。
途中で追い抜きますね。これが素数競争の名の謂われですな。

　実はですね、この手の巨大数の数列では素数が出てくる割合は非常に少ないことが経験的にわかってます。
　この二つの数列は素数の比率が多いのが特徴的ですね〜。

素数表150000個