メルセンヌ素数の異母兄弟との関係

 意味不明のタイトルで書きだしました。おいおい説明します。

 判明している最大素数の業界では次のメルセンヌ素数がセレブのトップであります。

       

 ここで、Mp素数なら、pは素数である。けれどもpが素数であったとしてもMpが必ずしも素数ではないことが後で関係する。

 2024年5月では51個ほど確認されている。最大のものはp=82,589,933だそうだ。昔も一時停滞していたが、かれこれ6年以上も最大素数の更新がないようだ。計算パワーをビットコインやGPTに捧げているからかな?

ja.wikipedia.org

 

 自分がメルセンヌ素数の異母兄弟は、こんな発想であります。

あいにく、交替級数であり整数ではあるけれど自然数ではない。

閉じた形にすると

      

 これが素数になるかどうかを実験しよう。素数を生みだす傾向を正嫡子のメルセンヌ素数と比較したい。

 初めの14個の素数のリスト

3, -5, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 
845100400152152934331135470251

やはり、負数が混じったが、その後は順調である。素数をそれなりに生成する。

pとの対はこんな感じです。

素数でない場合にMMpは素数になるようですね。

{2, 3}, {3, -5}, {4, 11}, {6, 43}, {10, 683}, {12, 2731}, {16, 43691}, {18, 174763},

{22, 2796203}, {30, 715827883}, {42, 2932031007403},

{60, 768614336404564651},

{78, 201487636602438195784363},

{100, 845100400152152934331135470251}, 
{126, 56713727820156410577229101238628035243},

{166, 62357403192785191176690552862561408838653121833643},

{190, 1046183622564446793972631570534611069350392574077339085483},

{198, 267823007376498379256993682056860433753700498963798805883563}

 

メルセンヌ素数との素数競争であるが、初期1000個中での計算では、メルセンヌ素数素数14個であるのに対して異母兄弟は21個でありました。青い点が異母兄弟。

 圧勝である(あまり意味のない勝利宣言)

 

 

【参考文献】