素数から生成される数列の素数競争

　素数の巾乗和を考えてみよう。

Prime[k]はk番目の素数である。
　kを動かして、素数が一番多くなるような数列はどんなものであろうか？
一般論は展開できないので、実験数学的にアプローチしてみよう。

　具体例を示してみよう。

　
　kを１から１１１まで動かして得られる数列はこうなることが知れる。

7, 13, 31, 57, 133, 183, 307, 381, 553, 871, 993, 1407, 1723, 1893, 2257, 2863, 3541, 3783, 4557, 5113, 5403, 6321, 6973, 8011, 9507, 10303, 10713, 11557, 11991, 12883, 16257, 17293, 18907, 19461, 22351, 22953, 24807, 26733, 28057, 30103, 32221, 32943, 36673, 37443, 39007, 39801, 44733, 49953, 51757, 52671, 54523, 57361, 58323, 63253, 66307, 69433, 72631, 73713, 77007, 79243, 80373, 86143, 94557, 97033, 98283, 100807, 109893, 113907, 120757, 122151, 124963, 129241, 135057, 139503, 144021, 147073, 151711, 158007, 161203, 167691, 175981, 177663, 186193, 187923, 193161, 196693, 202051, 209307, 212983, 214833, 218557, 229921, 237657, 241573, 249501, 253513, 259591, 271963, 274053, 293223, 299757, 310807, 317533, 324331, 326613, 333507, 345157, 352243, 359401, 361803, 369057

　これに対して、素数判定を個別に行うとこうなる。Trueが素数である。

True, True, True, False, False, False, True, False, False, False, False, False, True, False, False, False, True, False, False, True, False, False, False, True, False, True, False, False, False, False, False, True, False, False, False, False, False, False, True, True, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, True, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, True, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, False

　Trueが１４個あるのである。つまり、素数が１４個である。

これを他のケースでも実施しよう。

　結論からいうと

の素数の数が今のところ最大である。

１０００個までの生成数列のなかに「９２個」あり、他のケースよりも多いのである。

　だが、これが最大である保証はなにもない。それどころか、自然数にも負けている。

　これが自然数（１〜１０００）までとの比較だ。

　しかし、(Prime+1)/2が素数となるソフィ・ジェルマン素数よりは多数生成できるのである。

我が数、我が友よ―数論への招待