円に相当する曲線

　原点をとりまく以下のような系列の曲線を考えるとしよう。

　言わずと知れた、この方程式で表現されたものだ。内側からn=2,4,8である。

　n=2,4,8...と偶数で大きくなれば正方形に無限に接近する。
面積の一般式を出しておこう。

　このGammaとはオイラーのガンマ関数だ。ガンマ関数の公式を使うともう少し簡明化できる。ｎが奇数でも成り立つのかとか、ｎが分数ではどうなのかとか、なかなか考えさせられる公式ではある。もちろん、ｎ=2ではπにはなる。

　上式により、n=2,4,8の値を算出しておこう。
それぞれこうなる。

　3.14159　　3.70815　　3.91384

　正方形の面積４に接近しているのが分かる。

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【参考】アルティン先生の名調子でガンマ関数を勉強できる。

ガンマ関数入門 (はじめよう数学)