模擬ヴィエトの公式 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　フランス人の数学者ヴィエトは１６世紀の法律家、要職を歴任した出来る法律家でもあった。
記号代数の確立に大きな貢献をしたと数学史家は指摘している。
　後世、フェルマーが数論に成し遂げたようにだろうか。フェルマーもまた法曹界の人物であった。

　円周率をはじき出すヴィエトの公式なるものの方が、現代人には知られている。
円周率の紹介本の定番だろう。
　

　もう少し見通し良く表現する。この反復を無限に行うと円周率になる。

　それなりに美しい式であるが、今日の計算家はこんな式で円周率を計算しはしない。
しかし、２だけがこんなに出てくるのは気になる。
　それが人情である。

　日曜日の朝のひととき、これを１や３にするとどうなるかを算出してやるとしよう。

　２をｘに置き換えたこのような反復式をあくせくとPCに計算させてやるのだ。

　先ずは、ｘ＝２で２０回ほどヴィエトの式を反復した結果を算出すると

3.1415926535897932385

　１８桁目までは正しい結果。

実のところ、x=1やx=3はそれほど面白い数値にはならない。
　それぞれの20回反復した数値はこうなる。

x=1　　0.000080190525809748153875

x=3　　952.08086674653507474

　早い話がｘ＝２が実にこの関数の意味がある唯一の特異的存在なのではないかと思わせるのだ。

　下図はｘを０から１０でプロットしたグラフだ。ｘ＞２で急速に増大する。

　ｘ＜２．５までのグラフだ。

　ｘ＝２の特異性は反復回数を５，２０，４０と変化させた結果をみると歴然とする。
ｘ＝２でのみ数値は変化せず、交わるかのような挙動を示すのが摩訶不思議である。