昨日来のテーマを再説する。 ｎ角形上の点が隣接する他の点を目指して、一斉に動いた時に描く軌跡だ。その汎用化と自動化は一部を除けば完了した。正ｎ角形で計算するのがベースとなっているが、初期条件を手で書換えればなんでもござれとは、なる。 正六角…

かねてからのスモークマン氏よりの宿題を試算してみた。 宿題は以下のとおり。 正方形の頂点にｔ＝０で点が４つある。それらが各々、隣の点を目指して運動を始めるとしよう。中心部でどうなるか？ そんな問題でありますな。 こんなのがｔ＝０であります。 少…

再び、連分数の数値計算に戻る。これは次の（変形）ベッセル関数の比になることが証明されている。 では、次のものはどうか？ 厳密な関係式は不明である。数値は「1.87317867」になる。 この場合にも面白いのは複素数である。 上のkを(I k)^(k-1)に置き換え…

誰でも夢見たことのある連分数の関数についてチョイト調べてみたので報告したい。例により結論はないが、数学的好奇心はくすぐられる。 規則性をもつｘを変数とする連分数だ。 n乗を有限で切る。もちろん永遠にx^nが続くケースありうるが、収束性は保証され…

先日の「複素数での連分数の事例」を補うとしよう。 こんな連分数を検討しよう。この極限値ｘを求める。 従来の考えで反復性から、二次方程式を立ててやり、ｘについて解く。となることは自明とする。これで全て解決だ。 だが、それは早計なのだ。 反復式を…

黄金比を表す連分数となると下式が有名というか、知っている人はすぐに連想する。 そのアナロジーで虚数をいれるとどうなるだろうか？とりわけ手間を掛けることなく二次方程式を解くと２根あり、虚数部を正とする値となる。 数値で出せば、0.624810534 + 0.3…

投稿でリサージュ曲線ライクな形状に興味ありという声援をいただいたので、ちと振り返り。 三角関数は初等関数ながらシンプルにして最強な関数の一つです。 対称的に三角関数を畳み込み、ｍとｎも交換してある。 つまらない形状からもつれた形状、かなり興味…

連立２元線形数列のなかで回帰性があるシンプルな数列を扱う。 x[n + 1] = x[n - 1] - y[n] y[n + 1] = x[n] + y[n - 1] 初期状態の組み合わせを変えてみよう。ここで可視化のために｛x,y｝の二次元平面での点列を考え、生成される点を順次線分で結ぶことに…

日本語で「アリコット数列」とググっても何にも出ないので、勇を鼓して暇つぶし計算の結果を書き込みます。アリコット数列とは自然数ｎが与えられ、その約数の和σ(n)を逐次的に計算した数列です。 １２の約数は｛１，２，３，４，６｝、それ故総和は「１６」…

次のような積を考えよう。ｎは自然数である。 kの1/k乗はkが大きくなれば１に近づくので、ｎ→無限大で収束するかと思うとさにあらず。 ｎ＝１００ で 38329.54101 ｎ＝１０００で 2.145404488*10^10 ん＝１００００で 2.4505141866223725326*10^18 発散する…

複素数の初等幾何への応用を続けよう。 四角形を内分する。その比をγとしよう。 複素数z1、z2を内分するのはこういう式になるのは覚えている人は理系だろう。 これをz1,z2,z3,z4の異なる複素数に適用すれば、各辺をγで内分した四点ができるのは必定である。 …

ここでの問題はこうだ。 円とその周上の３点z1,z2,z3が与えられる。三点を頂点にする三角形と外接円とみなせるが、ここではスルーしておこう。 その時、 z1,z2,z3でそれぞれ円に内接して、円内で互いに接する円を３個求めよ。 複素平面で再び問題を定式化し…

ベンジャミン・ブリテンの奇妙な果実「Curlew River」 このオペラは能の「隅田川」にインスパイアされたとか。

複素平面上の反転（Inversion）の続きであります。 ガンマ関数の反転からトライであります。かなり急速に変化するでありますので、原点付近を拡大したのです。続いてポリガンマ関数。ガンマ関数の兄弟分です。ゼータ関数は関数世界のガンダムですわ。

三角形には重心、内心、外心のような幾何学的に一意に決められる点が無数に存在する。これから定義する点もそのうちの一つであり、おそらく既に一点で交わる証明があるだろう。 z1,z2,z3の複素数３点で構成される三角形を考える。その頂点を中心とする円は容…

反転を使って無限平面上の曲線群を表現できるのは自明だろう。 この複素関数を考える。ｍとｕはパラメータである。 シンプルな三角関数である。だからこそ理解しやす曲線模様になるとも言えるけどね。 単位円に関する反転でこうなる。複素平面での反転である…

ガウス素数の空間的な分布を鳥瞰的に見える化したいという自分の願望は、意外に簡潔なる反転（inversion）を使うことで解決をした。 単項イデアル環であるところのガウス整数における素数をガウス素数とすることは既知としておこう。 それはこんな集合となる…

４点の複素数がz[1],z[2],z[3],z[4]としよう。 その面積は下記となるはず。1/2 Im[-Conjugate[z[3]] z[2] + Conjugate[z[2]] (-z[1] + z[2]) + Conjugate[z[3]] z[3] - Conjugate[z[4]] z[3] + Conjugate[z[1]] (z[1] - z[4]) + Conjugate[z[4]] z[4]] Im は…

二次剰余の相互則を証明するためにガウスが定義した複素関数の和は、この天才が算出するのに悶々と苦しんだという有名な逸話があります。それれをディリクレが美しい証明を提出した。 ガウスがこれを嘉し、ゲッティンゲン大学の後任にすえるわけです。そのヴ…

グーゴルプレックス (googolplex)はグーグルの名前の由来ともなった数の単位であります。 これよりも厳しい制約のパズルがある。 「３個の数字だけを組み合わせて、巨大な数を表現せよ」その答えは おおよそ となる。しかし、これはグーゴルプレックスのこん…

問題を説明しよう。 互いに接する二円がその半径の数列と中心ともに与えられる。その二円に接する円を求める。その半径は数列の続きである。 例えば、最初の円は原点を中心とした半径１の円である。二番目の円は中心座標が（3/2,0）で半径1/2である。これら…

リチャード・ガイは驚くべき長命の数学者だ。数論が専門であり日本では『数論の未解決問題』で知られる。エルデスやコンウェイの良き研究相手であった。 １９１６年生まれの氏は９７歳になんなんとする。今後も健やかであらんことを！ 数論における未解決問…

いやはやオイラーの関数にこんな特性があるなんてね。 オイラー関数とはこんな積であり、分割数との関係で有名な関数だ。 ｎは自然数だけど、どうやらほとんどのｎでｘ＝-1/2の付近で極値になるらしいのだ。 誰か証明してみませんか？ラマヌジャンの遺した関…

自然数の逆数の和について、オイラーが証明したように下記のような一連の結果がある。 勢い良くオイラーは一般式も出した。Bはベルヌーイ数だ。 本日、問いかけてみたいのは、こんな逆数の和であるのだ。 これはなにか？ 下記の式を見れば了解されよう。 初…

この作者、何者なのだろうか？ Ildebrando Pizzetti (1880-1968)の曲を探していたら、掘り出したよん。 ピゼッティは紀元2600年祭の日本に曲を奉納している。

円の内接円の件でのレポート。 円を下記のように内接させよう。これは円Ａと円Ｂを直径上に互いに外接するようにおいて、その両側に三円に接するように小円を２個配置したのだ。外部の外接円を単位円としておこう。 ここで問題だ。 この４円の面積の和である…

お題からは何を言わんとするかは理解できないであろう。 三角形の重心と３頂点を結ぶと、３個の三角形になる。これを反復してみようというのだ。 こんな単純な操作だけれども、あまり他の場所で可視化したものを見たことがないような気がするのだ。 何はとも…

任意の三角形に対し，内心，外心，垂心，重心，傍心というように特殊な点は、な、なんと３０００点ほど定義されているということだ。 キンバリング（Clark Kimberling）がその定義をまとめ、ナンバリングしたＷｅｂを運営している。 ETC（ENCYCLOPEDIA OF TR…

もっとも古い朝鮮の正史『三国史記』の「倭人伝」を読むと不思議な気分にさせられる。「新羅本記」にいきなりある貴族が出てくる。瓢箪を越にぶらさげて日本から帰化した「瓢公」だ。 瓢公を遣わして馬韓に聯せしむ。馬韓王、瓢公を請めて曰く辰弁の二韓は、…