円周率の連分数展開で出現する素数の頻度

　トンデモ話に近い特殊な実験ネタであります。円周率をガンガン連分数展開します。元々は超越数の連分数展開がどんなもんじゃろかという日頃の関心がトリガーでした。
　そこで出現する自然数はいろいろでありますが、そのなかでも素数を拾い集めるというのは甚だ虚虚実実の危ない計算テーマです。あーつまり、ナニモノも生み出さない興味本位の計算ということです。

　ここでのトライアルを具体な数値で説明します。円周率πのはじめの連分数展開をみておきましょう。

　ご覧のとおり、円周率の連分数展開での自然数の出方は規則性がないのですね。すべての自然数はいつかどこかで登場する可能性があるわけです。
　これを集合的に表します。最初の20個（出だしの３は3.14の三です）を示します。

{3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2........}

見ての通り、乱雑な並びです。もちろん素数はあります。２とか３，７などです。

最初の１０００個の連分数展開での各自然数の出現頻度をカウントしてみましょう。

{{1, 412}, {2, 178}, {3, 83}, {4, 65}, {5, 40}, {6, 29}, {7, 27}, {8, 17}, {9, 9}, {10, 12}, {11, 7}, {12, 12}, {13, 10}, {14, 6}, {15, 10}, {16, 5}, {17, 1}, {18, 4}, {19, 5}, {20, 3}, {21, 2}, {22, 3}, {23, 3}, {24, 3}, {25, 1}, {26, 2}, {27, 3}, {28, 2}, {29, 3}, {30, 2}, {31, 1}, {32, 1}, {33, 2}, {34, 1}, {36, 1}, {37, 1}, {39, 1}, {41, 1}, {42, 2}, {43, 1}, {44, 1}, {45, 1}, {47, 1}, {48, 1}, {50, 1}, {55, 1}, {57, 1}, {58, 1}, {59, 1}, {61, 1}, {62, 1}, {65, 1}, {72, 1}, {73, 1}, {84, 1}, {94, 1}, {99, 1}, {106, 1}, {107, 1}, {120, 1}, {125, 1}, {127, 1}, {129, 1}, {141, 1}, {161, 1}, {292, 1}, {376, 1}, {436, 1}, {20776, 1}}

　じぇじぇじぇ〜、「１」が４１２個もある！半数近くですな。ベンフォードの法則ではおおよそ３割が「１」になるはずだけど、かなりズレていそうです。
　この頻度をグラフ化しておきましょう。

　素数だけではどうなるかもグラフ化しておきましょう。同じ１０００個までの連分数展開ですな。縦軸は対数軸ですな。

１００００個までを試算しておきました。ご参考まで（誰も振り向きもしないでしょうが！）

　これが超越数の連分数展開の性質に特有なものかは不明だが、ｅとの比較は少々気になろう。最初の１００番目までの展開に素数は「２」のみのだ。
{2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, 1, 22, 1, 1, 24, 1, 1, 26, 1, 1, 28, 1, 1, 30, 1, 1, 32, 1, 1, 34, 1, 1, 36, 1, 1, 38, 1, 1, 40, 1, 1, 42, 1, 1, 44, 1, 1, 46, 1, 1, 48, 1, 1, 50, 1, 1, 52, 1, 1, 54, 1, 1, 56, 1, 1, 58, 1, 1, 60, 1, 1, 62, 1, 1, 64, 1, 1, 66, 1}

素数の音楽 (新潮文庫)