「摩擦抵抗なしの質点がカテナリー上を降下してゆくとその所要時間はどうなるか」とのスモークマン氏からのご質問。シミュレーションを所望されていたが、ここでは解析結果を示すことにします。
深さｈのカテナリー曲線であり、所要時間Tはトップダウンでこの式となります。
以下、駆け足気味で計算を示します。
αはこういう値です。
結局、所要時間Tはこの式になると思います。
定積分のパートを計算してやります。
数値計算して評価したならば、こうです。
他方、サイクロイドでの効果時間は高さｈとすると（検算をしてませんので）
これは１．５程度になります。
結論的に、カテナリー曲線よりはかなりまったりと降下するようです。始まりはやや勾配がありますが、その後緩やかになるからでしょうか。
なぜ、カテナリー曲線が上式になるかなど説明不足ですが、とりあえずの計算結果であります。
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降下時間は落下する高さにしか依存しないようですね。
両方の式
