正多角形の辺上の円の連鎖

　昨日のお約束「正多角形の辺上の円」なのであります。これも和算のような試みです。もちろん、高校の数学でも可能です。
　正ｎ角形のすべての辺上に円の中心をおき、お互いに接するようにしたら、どうなるかがセルフな問題です。

うまくいきました。
例示してみましょう。

　正五角形での例です。

　このように対称的に円を配置できます。その半径はこうです。θは辺上の中心の位置に関する変数。
平行根は後ろまでかかります。

正六角形でのサンプルです。

内側に内接円も置けます。その中心は多角形の中心に同じです。
半径は次式です。

　解が比較的簡単に計算できるというのは、円と正多角形が相性がいいことの裏返しでしょうね。

　という訳で、任意の正多角形で辺上に同じ半径のｎ個の円をおいてそれらをお互いに接するようにできるこことが分かりました。
　半径は中心位置の変数θで決まりますので、辺上を移動するにつれ変化します。
　これらの円の連鎖は連続的に移動も可能です。下のアニメで確認ください。

　予想としては、辺の中央部にきたときに充填率が最大になるようです。

幾何への誘い (岩波現代文庫―学術)