オイラー定数の数値計算メモ - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　オイラー定数γの愛好家には興味深いかもしれないので、計算メモを残します。
以前このブログでも触れた調和級数の関数から出せる計算出力です。

　その関数とは

　ここで、Γはガンマ関数です。ｘは任意の値で計算可能です。ｘが自然数では調和級数の和と関数値は一致しますね。

　そこでｘが０と１の間での関数の振る舞いに着目します。

　とても興味深いことに、下線部の面積は「オイラー定数γ」となります。

するとどんな数値計算プレイ（お遊び）ができるか、がここでの主題です。

1/2の累乗での値がどうなるか。
じつは、この範囲での数値例が意味深なのです。

　定義式にあったγは消え失せます。

　1/2の累乗で０〜１を分割して面積を計算してみましょう。
初歩の台形公式です。

　(1/2)^nで０〜１を2^n個に分割した時の台形公式の和を順次計算します。和はオイラー定数γに近づくはずですね。

　ここでの発見は1/3や1/5などでの分割では三角関数と対数がバンバンでてくるのに、1/2だけはどうも有理分数とLog2だけしか出現しないということです。　
　オイラーがγとLog2の関係を指摘していたという事実はハヴィルの本に出来てきます。