フリント級数に見習うと

　ピックオーバーの数学エンタ『オズの数学』（産業図書）は面食らう数学パズルが多い。娯楽パズルと計算力パズルと実験数学が入り交じっている。

　フリント級数もどれともつかぬトピックスであろう。

三角関数のなかにナマの自然数が入り、自然数の三乗とかけて逆数としている。数理的にはセンスがない式で面白みもなさそうである。
ひとたび、計算してみると数の世界の深みがわかる。

　問題はこの級数は収束するかどうか、である。

　なのではであるが、ピックオーバーの真意は違う。
手間隙かけて計算してみるとこんな結果が出てくる。縦軸は級数和の値で、横軸はＮだ。

　収束するようなのだが、三角関数のせいで時折、和が飛躍する。このグラフで３５５の辺りだ。
　４．８に収束するように思えるが、この飛躍が起きるせいで、実は極限値については何ともいえない。
　１００万までＮを計算してみると「３０」になっている。せわしなく飛躍は起きている。

　同書には極限値についての結論がない。飛躍があるのを指摘していて、それを計算しているマニアがいると報告しているだけである。普通のパズル本でない由縁だ。
　極限値について有志は挑戦されたし。

上式に啓発されて調和級数で類似な計算をしてみた。n=2からの和である。

　三角関数のなかに調和級数を入れ込んだ。
　調和級数の和は自然数に近接しても自然数になることはない。よって飛躍はあってもゼロ割はない。

一万までの級数の変化である。

　自然数に近接して何度もジャンプをする様がわかる。級数和も６までになる。
調和級数自体よりも大きいようだ。
この状況からすると「発散」すると推論してもよいであろう。

オズの数学