正多角形上の円の連鎖

　今回の作業は正多角形上の円の連鎖（頂点円）であります。上図のように、正多角形をあたえ頂点に円を置きます。その円が互いに接するようにおく、これだけです。
勢いで中心にそれらの円に接する円も描いています。

　正多角形(nは角数)の外接円の半径＝１とすると

シンプルな式ですねえ。感心感心！

こんなように図示できます。

　円の追求を続けます。
　正多角形の辺の中心に円をおいたらどうなるでしょう（辺上の円）。お互いに接するようにという条件をつけます。

　赤い円がそれです。勢いでそれらの内接円を中心においてます。

　その半径はこうです。チョイと複雑だ。

　オシマイに、お約束の充填率というか面積の対比をグラフ化しておきます（横軸はｎ：角数、縦軸は面積）頂点円と辺上の円の面積の和には内接円も含めます。いずれも多角形上の面積で、はみ出たら無視してます。外接円の面積＝πです。

　破線が多角形の面積なので、これが上限です。辺上の円が六角形までは善戦していますねえ。
正六角形のときです。
　緑の内接円と赤い円の六角形内の面積が一致しています。(3π)/4です。また、赤い円の半径はすべて同じになります。Sqrt[3]/4です。

　問題：両方の共通部の面積はなにか特徴あるでしょうか？

これらの計算は高校数学で十分に可能なので、検定計算をされるのもいいでしょう。

建築のかたち百科―多角形から超曲面まで

　明日はやや一般化します。あーら不思議、辺上の円を動かします。