いつものようにたいした話ではないが、次のような性質をもつ数列の作成に挑んだ。 （1,2,3）からなる自由列が増殖してゆく。その増殖の仕方であります。 二個の組みの時はこうなる。 {{1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}, {3, 2}} 三個の組みではこうな…

円周率を連分数展開して現れる数には規則性がないと言われている。{3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1} これは次ような伝統的表現と同じであるとしますね。 連分数のなかに１が5回、2が１回、3も一回出ている。では全体としてどんな振る舞い、分布になるかが…

タイトルに比して内容はない。24時間計算し16万ケースほどサーチしたが、 下記の２ケースしかなかった。1+3+3*3+3*3*3+3*3*3*3=11^2=121 1+7+7*7+7*7*7=20^2=400 これ以外に指数和が平方数となる場合があるだろうか？ 1+288=17^2=289のような二項の和は除く…

図形の周期パターンの検討過程での副産物であります。子どものお絵かきみたいなものです（スパイログライフとか） 正三角形を縮小しつつ直角に回転してゆくのを重ね書きします。 正五角形でも同じ方式で描画します。 数を増やせばこうです。 あるいは正１１…

それはシュヴァルツ=クリストッフェル変換で可能である。しかし、今井功の流体数学法でシンプルに変換の積分は導出できる。氏は流体力学の権威でありました。 ζを複素変数とした次のような被積分関数が今井の方法から出る。 ここで、ｐは１から４を動く自然…

見当違いな使命感から、複素関数における特異点の事例を視覚化してみます。 Ｅｘｐ（１／ｚ）の名だたる特異点はｚ＝０です。 ローラン展開すればわかるように、 この級数から、ｚ→０にて無際限にｚが発散しまくるのは、なんとはなしに理解できましょう。 こ…

かつての家電王国・日本の面影は消えつつある。垂直統合型の製造モデルは競争力を喪失した。 EMSを使わない日本の家電メーカは赤字に追い込まれた。EMSとはElectronics Manufacturing Serviceで電子機器のOEMとODM（設計まで含む）を一括して受託する企業の…

わけもなく無理数を有理数（分数）に分解してみたくなったのであります。ルート３を1/n^2の分数の和にして近似するなどという不条理な計算をしてみることを意味します。 結果を示しておきましょう。 1+2/4+18/81+1/121+1/676+1/11881+1/1505529+1/4702530625…

円の外周を転がる円の軌跡は外サイクロイド（エピサイクロイド）として大学の授業でも取り上げられることがある。ここでは、楕円の外周を転がるとどうなるかをトライしてみた。 楕円は原点に中心があり、a=1,b=(1-e^2)^1/2とする。偏心率eとなる。その楕円の…

調和級数を組み込んだ直角三角形の連鎖で戯れてみましょう。 意図するのは下図のごとき直角三角形の積み重ねであります。 外側の辺が1/kとなる直角三角形である。左隅の角は原点である。 明らかに外周は発散するのであるけれども、 原点からの距離はπ/Root(6…

自然数の辺からなる長方形を正方形に自動分割する。連分数はそれに役立つことを見ておこう。 横１７×縦３８の長方形を正方形に分割した例が下図となる。１０個の正方形の辺と個数は {17,17,4,4,4,4,1,1,1,1}であります。辺の長さ１７が二個、４が４個、１が…

『単位円を囲む円の充填率』の応用であります。 手順はこうです。 １）同心円を囲む互いに接する円の連鎖を構成する（単位円を囲む円と同じ） ２）メビウス変換（反転）を用いて同心円ではない円に写像する複素数を使いますが、やり方は簡単であります。 ２…

中心の単位円を囲むｎ個の等半径の円の中心は正ｎ角形となる。 さて、今回のテーマは正ｎ角形を円が最大に埋める比率＝充填率がｎでどのように変わるか、であります。 単位円を囲むｎ個の円がすき間なく外接する時、その円の半径は次式となります。単位円の…

今度も、スモークマンさんより創意に富むご質問をいただいた。 自分の計算機パワーだけでなんとかなりそうなので、トライした結果を示します。 ピックの定理見てて...方眼を極小にして行けば...円周も対角線に近似できるから、円の面積=円周率πが求められる…

大仰なタイトルでありますが、三角形の反復系の続きです。 以下の複素数で定義された点列を三角形として表示してゆきます。 互いに接する二等辺三角形を順次、描いてゆくのであります。 zは二等辺三角形の頂点に対応します（複素数表示です）。θは初期の角度…

ｎを自然数として、次の三頂点(x,y)を考えよう。 これを最初の５つだけ描画してみる。 なんとも不揃いなノコギリだ。 懲りずに５０個まで描画する。 どのように見ても、ただの不細工な三角形の系列にすぎない。 その種明かしをするまえに、この三角形のシリ…

オヤオヤである。 今度は米国各地でオーロラだそうだ。ミシガン州、ジョージア州、アーカンソー州などかなり南の地域で１０月２５日にオーロラが観測された。 日本の大震災で忘れがちになるが、今年の北米大陸は聞きしに勝る天変地異続きであった。 まず、今…

専門家によればナポレオンの作戦は完璧だったとか。しかし、運命の女神は彼の没落を欲した。 「ワーテルローの戦い」の地である。 ベルギーのこの地にはライオンの塔が建つ。 大きな地図で見る 時は過ぎ去り、どこかの関係のない国でピアノ練習曲みたいに扱…

クラシック業界での女性作曲家は稀有だという。優れた演奏家が多いが作曲家がマレなのでありますが、マリオン・バウアーは例外的存在です。アメリカ人。Marion Bauer (1882-1955) なにが違うかはご自身で試聴し、鑑賞され、含味されたし。

スモークマンさんより次のようなご依頼をいただいた。 Σarctan(1/k) の図示をお願いできればと思いまして... 1/1 は直角二等辺三角形...1/2 はその斜辺を底辺にした直角三角形(1/斜辺の長さ=1/2) になるようにとる... 1/1+1/2+1/3 までで、ちょうど、arctan(…

フラクタルとは異なる、もそっと古典的な反復を実験しよう。 結果をご覧あれ。 二等辺直角三角形を順次、縮小回転させながら移動をさせたものだ。 縮小率は1/2で、回転角度は４５度。これを３０回くり返す。 三角形は重ならずにある座標に収束してゆくようだ…

平行四辺形には傾いている楕円は内接不可能であることから、証明してみよう。 (本証明は楕円の中心が原点にあると仮定しているのでかなり限定的であります)中心を原点におく楕円の一般式は下記となる。 平行四辺形も原点に中心をおこう。高さは2b、巾は2aと…

実のところ「ガブリエルのホーン」(Gabriel's Horn)というのが体積有限で表面積が無限の形状というのが、すでに存在する。 http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel's_Horn そうとは知らず自分で珍品を発見したつもりになっていた。 もとは調和級数の視覚化に…

楕円の中央に内接する曲率円が、上下ともに接するのはたった一つのケースだけだ。 偏心率＝曲率半径で、２の平方根の逆数に等しい時だけである。ただし、長軸＝１としている。 この特殊性は、きっとなんらかの均斉の予兆を示す楕円なのでありましょう。 つい…

このブログであれこれと漫然と、調和級数に挑んではや半年。これといった新規性はないけれど、見て理解できるような調和級数の表現を実装してみた。 一辺が1/nの正方形を次のように重ねる。 １）底に長さ＝１の正方形を１個置く ２）その上に長さ＝１／２の…

正方形に内接する円の系列は、見かけによらずややこしいことが判明したと信じます。 大学入試問題程度かと軽く見て、なんとなくやってみたのですが．．．。 いやーこれは人手に余る計算ですね。 目標は正方形に内接する円のこんな系列を算出することです。正…

調和級数で以下のような極限を考えてみた。 オイラーの定数γを知っている人であるなら、この極限値＝０とするだろうし、実際それは正しい。 この関数はｎ→無限大で、どのようにゼロに近づくであろうか。 であることは分かっている。 このブログでの結果を用…

同じ大きさの円で平面を周期的に埋めるのには、二通りの配置があります。 これと格子点上の円の中心を置くやり方と互い違いに置くやり方です。 充填を考えます。つまり、同じ面積にどれだけたくさん円を置けるかです。 これらの円の充填率には「隙間」の大き…

理系的センスのエコドライブをここで、強調＆吹聴してみたい。名付けて「ニュートニアン・エコドライブ」です。 力学法則にのっとりスムーズな運転を心がけるのであります。エコ・ドライブとは燃費を増大させるクルマの運転術というほどの意味であります。 …