今度も、スモークマンさんより創意に富むご質問をいただいた。
自分の計算機パワーだけでなんとかなりそうなので、トライした結果を示します。
ピックの定理見てて...方眼を極小にして行けば...円周も対角線に近似できるから、円の面積=円周率πが求められるはずだよなぁって思ったもので...^^
サーチしてみると...同じ発想の入試問題があった♪
↓
格子点と面積・面積での近似・Pickの定理
http://komurokunio.web.infoseek.co.jp/problem/problem2.html半径が5の倍数の巨大な場合を考えていけばいいのだろうけど...
じっさいは...数えるしかないのかもしれないなぁ...^^;?これって...モンテカルロ法とは違うでっしょ???...
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1366_s1.htm より 下のようなことも見つけました♪
「ガウスの円問題
原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．
Ｒ（１０）＝３１７ Ｒ（１００）＝３１４１７
Ｒ（２０）＝１２５７ Ｒ（２００）＝１２５６２７
Ｒ（３０）＝２８２１ Ｒ（３００）＝２８２６９７
Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．
ｒ Ｒ（ｒ）／ｒ^2 ｒ Ｒ（ｒ）／ｒ^2
１０ ３．１７ １００ ３．１４１７
２０ ３．１４２５ ２００ ３．１４０７２５
３０ ３．１３４ ３００ ３．１４１０７
ガウスは
｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ
を示したが，
｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k
となるｋの最小値を求める問題に一般化される．
シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．ヴィノグラードフはｋ≦３４／５３，１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．最近，ハクスリーは４６／７３を１３１／２０８に改良している．
下の値は１９１５年，ハーディとランダウが与えたｋ＝１／２と予想されている．・・・」で...半径 r が大きくなれば...ピックの定理の...+円周上の点の数/2 - 1 は誤差になるから...
上のR(10)/10^2=317/100=3.17
R(100)/100^2=31417/100^2=3.1417
と...πに近似されて行ってますよね...♪
πの求め方として、これはわたしのオリジナルではないんだとは思いますが...^^;...
どのくらいの大きさの半径で考えたら、どのくらいの精度でπの値が求まるんだろうかと...?
お時間あるときで結構ですのでいくらかでもわかれば教えていただければ嬉しいです〜m(_ _)m〜
ｎを与えて、その格子点を状態わけしてピックの式に代入するであります。
ｎ＝１００（原点まわりの２００×２００の格子点）の図示であります。黄色が原点からの距離が１００以下の格子点で「31397」個ある。赤点は丁度距離が１００となる点で「20」個ある。
ピックの式から
円周率の近似値＝(31397+20/2-1)/10000=3.140600000
モンテカルロ法よりは精度が高いような感じである。それに、こちらは格子点のカウントなので決定論的に算出できる。
nを変化させた円周率近似値の結果です。ｎ＝3000（＝3000×3000）を超えたあたりがメモリの限界です。2000と3000では精度の劣化のような現象が起きているかもしれませんね。
スモークマンさん、質問ありがとうございました。新たな円周率計算法かもしれません。3次元でピックの定理が成り立つのであれば、三次元で同じことをチェックしてみるのもありでしょう。
また、何か修正・ご要望があればお願いいたします。
どなたでも、計算の要望（自分が理解できる範囲なら）は大歓迎です。
