実のところ「ガブリエルのホーン」(Gabriel's Horn)というのが体積有限で表面積が無限の形状というのが、すでに存在する。
http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel's_Horn
そうとは知らず自分で珍品を発見したつもりになっていた。
もとは調和級数の視覚化に端を発する。「図Ａ」
横の長さ＝１を固定して、1/nの高さの正方形をｎ個を層別に積み上げる。この面積はｎまでの調和級数と等しい。
以下では底の正方形（面積＝１）を除いて考える。
これを次のように立体化する。
側面を以下のように構成する。
底辺＝1/k、上辺＝1/(1+k)、高さ＝1/kの台形を考える。
これを３個を積み上げたイメージが上の図である。
百個まで積み上げとこんな感じとなる。
この台形の積み上げは図Ａと同じ高さになるのは自明と思う。
この表面積はｎ→無限大で、調和級数が無限となるので、自動的に無限となる。
体積はどうか。
体積は台形の積み上げの面積×１である。ｎ無限大でも、この面積は収束する。
これが体積となる。
おおよそ1.32246703である。表面積無限大にしてはずい分と細めの体積ではないか。
これが体積有限で表面積が無限の物体の事例である。ついでに命名しておこう。
[King Ashoka's Wall]=アショカ王の壁
