このブログであれこれと漫然と、調和級数に挑んではや半年。これといった新規性はないけれど、見て理解できるような調和級数の表現を実装してみた。
一辺が1/nの正方形を次のように重ねる。
１）底に長さ＝１の正方形を１個置く
２）その上に長さ＝１／２の正方形を２個を横に並べる
３）以下同様に長さ＝１／ｎの正方形をｎ個を横に並べる
するとこのような長方形が生まれる（１０個まで）
長方形の高さ＝1＋1/2+1/3+....+1/10=H10 であり、底辺＝１であるから、H10に等しい。すなわち１０までの調和級数の和になる。
一般的には、どの層でも、横の長さはｎ×１／ｎ＝１である。よって各層の面積は1/nである。
したがって、長方形全体の面積はｎまでの調和級数となる。
１００個まで積み上げるとこうなる。
高さLog１００で一辺＝１の長方形を右脇に配してみた。
この長方形の差分は取りも直さず、オイラーの定数に対応するものとなる。
ついでに見つけた面妖なことを付記しよう。
