円周率を連分数展開して現れる数には規則性がないと言われている。
{3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1}
これは次ような伝統的表現と同じであるとしますね。
連分数のなかに１が5回、2が１回、3も一回出ている。では全体としてどんな振る舞い、分布になるかが気になるのであります。
この数の出現頻度をもう少し先の方まで集計してみよう。
１０００階層まで連分数をみるとこうなる。
１が４１２回。２が１７８回、３が８３回（うち一回は整数）でてきます。最大値は20776です。
いきなり2万超なのですね。先ほどの２９２と同じで唐突なのです。
{3, 83}, {7, 27}, {15, 10}, {1, 412}, {292, 1}, {2, 178}, {14, 6}, {84, 1}, {13, 10}, {4, 65}, {6, 29}, {99, 1}, {5, 40}, {8, 17}, {12, 12}, {16, 5}, {161, 1}, {45, 1}, {22, 3}, {24, 3}, {10, 12}, {26, 2}, {42, 2}, {9, 9}, {57, 1}, {18, 4}, {19, 5}, {30, 2}, {28, 2}, {20, 3}, {120, 1}, {23, 3}, {21, 2}, {127, 1}, {29, 3}, {11, 7}, {48, 1}, {436, 1}, {58, 1}, {34, 1}, {44, 1}, {20776, 1}, {94, 1}, {55, 1}, {32, 1}, {50, 1}, {43, 1}, {72, 1}, {33, 2}, {27, 3}, {36, 1}, {106, 1}, {17, 1}, {141, 1}, {39, 1}, {125, 1}, {41, 1}, {37, 1}, {25, 1}, {47, 1}, {61, 1}, {376, 1}, {107, 1}, {31, 1}, {62, 1}, {73, 1}, {59, 1}, {129, 1}, {65, 1}
頻度分布図にするとこうなります。
これはベンフォードの法則に従いそうですね。
1000000階層までの数の分布です。
比較のためにLog２の同様な頻度分布をあげておきます。円周率との差はなさげですねえ。
お約束のオイラー定数も１００００００までの分布を出しておきます。上記と同類のようです。
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あともう一つ、メモっておきますわ。
連分数の数字が素数となる場合の収束値です。すなわち、
その値はこうです。
0.43233208718590286890925379324199996370511089687765131032815206715855390511529588664247730...
なんの役に立つやらというご指摘もあるでしょうが、こんな事実もあるようなので、メモしておいたのです。
