わけもなく無理数を有理数（分数）に分解してみたくなったのであります。
ルート３を1/n^2の分数の和にして近似するなどという不条理な計算をしてみることを意味します。
結果を示しておきましょう。
1+2/4+18/81+1/121+1/676+1/11881+1/1505529+1/4702530625=1.73205
このように平方数の逆数の和だけで無理数をどこまでも近似するのであります。
なんのため？
まずは興味本位ですわ。
この手の分解はラグランジェの定理から連分数にまさる方法はないことになっているのであります。
ルート５です。
2+ 2/9+1/81+1/676+1/48400+1/7991929=2.23607
この計算はかなり時間がかかる上に、精度がよくない！ 面白いとしてもどんな自然数が顔を出すかくらいかな。
ルート５／５です。
1/4+1/9+1/16+1/49+1/324+1/9409+1/617796+1/669774400=0.447214
超越数に歩を進めましょう。円周率とかｅとかγですね。Zeta(3)などもそうですね。
これを平方数の和で近似したらどうなるかです。
ネピアの数eからです。
2+2/4+1/9+1/16+1/25+1/225+1/4489+1/286225+1/80748196+1/102050404+1/204375616+1/669774400+1/4702530625=2.71828
オイラーの定数γは
2/4+1/16+1/81+1/441+1/9801+1/2621161+1/3601680196=0.577216
ここまでやって不思議なことがあります。分子がほとんど「１」になるのですね。
お約束の円周率です。
3+1/9+1/36+1/400+1/5041+1/185761+1/123454321
+1/3601680196=3.1415926538666097270
123454321=11111^2が出てくるのがミステリアスですわ。
次回は素数の逆数の和で試してみるとしましょう。
それにしても、どのようなルールでこれらの平方数が顔を出すのでしょうか？
