かなり昔に円周率の連分数展開で発生する素数の分布を集計したことがあった。今回は、ｎ番目までの連分数展開に何個の素数が含まれるかを見る。 円周率の１００番目までの連分数展開はこうなる。{3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2,…

この図がそれである。 なんとなく、メガネかけた変なおじさんに見える。 もとはといえば、このフーリエ級数展開めいたものを媒介変数表示したものでしかない。 このPkがｋ番目の素数であるところが、通常のフーリエ級数と異なるところだ。上の図はｎ＝５まで…

素数の逆数和を別の視点から観察するのが今回の試みだ。Step[x] = -1 when x0のフーリエ級数展開は下式になるというのが、ヒントです。 つまり、この奇数項を素数に置き換えてみようというだけのことですね。このような級数を４０番目の素数まで加えてみた。…

電子化書籍の数は、数の上ではずいぶんと膨らんだ。ゾロ目だ。 種類からすれば文庫が多い。おおよそ２７００冊である。 その中でも岩波文庫が一番多いだろう。約１５００冊だ。 新書は６００冊。それほどでもないな。 たとえば、「がん」について何冊あるだ…

昨晩のトピックで気付きがあった。素数の交代和というのは見かけてない。 単純な和ではなく、符号がプラスとマイナスが互い違いになる和である。 ２−３＋５−７＋１１−１３．．．．．．これはいかなる振る舞いを長期的にするか？ ものは試し、計算してよう。 …

素数列から素数を単純計算にから生み出し、その素数製造効率を競うのが、素数生成競争だ。 エウクレイデス（ユークリッド）が素数の無限性を証明するのに使用した、この素数生成式を一番走者にしよう。 ２・３＋１＝７ 素数！ ２・３・５＋１＝３１ 素数！ …

江戸時代末期、黒船来航の3年後の1855年に江戸幕府は『長崎海軍伝習所』を開設した。オランダの建議を受けてのことだ。 海防を日本人自身で行うには海軍が必要であり、軍艦の前に操縦と運用を行える日本人がいなければならぬ。 その為に、 地理学、窮理学、…

トンチな内点とはなにか？ 下図をご覧いただこう。 正五角形が3つ等間隔に並んでいるだけだ。しかし、真ん中の正五角形は両端の正五角形から生成されているのだ。 下図で説明しよう。 中央の正五角形の頂点Pは、両端の正五角形の頂点ＡとＢを結んだ直線ABをκ…

ギムナジウム教師でもあった偉大なるドイツ数学者ワイエルシュトラスの公式を利用してみよう。 両辺の対数をとる。それをｚで微分してやる。 そして、ｚ→αに置き換えて、少々変形するとこんな無限数列の和公式が出せる。高校数学（数Ⅲレベル？）を知っていれ…

こんな予想を立てている。 次式をご覧ください。これはn,m,k,lを与えて計算される有理数である。 さらに、このn,m,k,lは自然数だ。この数値が自然数となるのは有限個である。その時、自明な場合、n=m=k=1を除くとしよう。 そして、n=m=k=1でs=2の時だけが自…

ベルヌーイ数Ｂnはご存知だろうと思う。ゼータ関数や数論でおなじみの数列だ。最初の２０個はこうなるのだ。 Ｂn n! を計算してみる。ｎ！はｎの階乗だ。 この分母に着目してみよう。 Ｂn n! の最初の１２０個の分母だ。{1, 2, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, …

こうした極座標表現の二次元曲線がどのような振る舞いをするか誰も知らなかったであろう。 なんともいえない奇怪な形状である。

ようようにして、ガウス整数における素数をベースにしたボロノイ図が完成した。ご覧いただきたい。以前からの宿題でもあった。余分な点を削除しておいた。 実数と虚数ともにプラマイ２３の範囲で計算したものである。 さして美しいわけではない。しかしなが…

ラブクラフトの名編の『異次元からの色彩』に倣うわけではないけれど、余弦関数からの本の思いつきのカラーリングでござる。 すべては、Cos(lx + sy) Cos(lx - sy)から自動的に織り出すことができる。単純な関数こそ一番、人肌に馴染むような手触りを提供す…

初等整数論のModを駆使して、単純にして高雅？な平面彩色に挑んでみたが．．．． ふむ、所詮こんなところであろう。 ｎ^m Mod P 要するに、上の式の三個のパラメータといじり回すとともに、色彩のグラディエーションを数通り当てはめただけのことだ。 この書…

フィボナッチ数を三種類組み合わせて平面カラーパターンを生成するのはブログ２回前で公開したけれど、このやり方は幾つかの「多角形による平面分割＝タイリング」を含むのが好奇心を唆る。 このようなタイリングが生み出せた。 【フィボナッチ数のモヂュラ…

３組のフィボナッチ（F(n-1)、F(n)、F(n+1)）のModをとることで平面分割を生成できる。その結果の一部を示しておくとしよう。

伝説の数学者ジョン・コンウェイの講義だよ。 コンウェイの入手できる本は４種かな。２冊は持ってるけど、『数の本』１冊しか読了してない。 あの爆発的に流行したライフゲーム系は除いている。数の本作者: J.H.コンウェイ,R.K.ガイ,根上生也出版社/メーカー…

自然方程式に基づく内在性曲線の１００１コマアニメですね〜。始まりは単調ですがやがて円のバリエーションが開陳されていきます。

１）ガウス整数の素数の４乗和パターンの生み出すモンドリアン風の絵画 ２）正弦関数のグレースケール整数変換のタペストリー

マクローリン級数でホットな計算をしよう。 Log(1+x)から開始しよう。以下、x=0の近辺に限る。 調和級数が係数に現れるので級数マニアは弄りまわす対象にしている。それではLog(1+Log(1+x))でマクローリン級数展開したらばどうなるだろうか？あまりどうにも…

前回と問題を逆転してみる。つまりは、楕円上の一点で半径ｒで接触する円の中心を求めるのであります。ここで長軸はａ、短軸はｂの楕円とする。 楕円上の一点の座標を(u, v)とし、求めるべき円の中心座標を(x0, y0)とする。 するとこの方程式を解けばよく。…

問題自体はえらく簡単だ。 原点を中心とする楕円が与えられたする。その外部の任意の点が与えられ、その点を中心とする円が楕円と接触するとする。 問題は「その半径を求めよ」だ。下図のような状況を想像してほしい。 このような単純な接触問題が、受験数学…

Inversionはドイツの幾何学者シュタイナーの十八番であった。ここでは円周上の円の連鎖に対して、連続的に反転を用いたパターンを試作してみせよう。 ７個の円、１４個の円、２８個の円を反転して、重ね書きしただけだ。同様に、３，９，２７，８１個の円の…

定式化するのはｅａｓｙである。 下図のように円内において相互に接する同じ離心率の楕円を求め、その円の面積に対する充填率（面積比）を出す。その上で、最大もしくは最小の条件が何かを調べる。 意外にも円４つの場合よりも充填率はよいのだ。 円を同じ配…

x^n-1の因数分解の係数でn=105の時に起こることは覚えているだろうか？ n=1から10までの因数分解を羅列してみせよう。 どのxの係数もプラマイ１か０である。 これがn=105では崩れるのは、因数分解マニアには常識となっていますな。そのことです。 その因数分…

グラフ理論のツールを用いて自然数の約数の関係を集団的に可視化してみた。どのようにしてか？ 説明しよう。 ３４５は素因子として、３，５，２３を含む。それを３４５→３，３４５→５と３４５→２３の関係として表示する。つまりは、合成数の合成元である素数…

これはひょっとしたらイイ思いつきかもしれない。 ボロノイ図は離散幾何の定番中の定番であるといっても、過言ではない。そいつを整数ペアからなる格子点に応用するだけで、ついぞ見かけぬ文様を生成できてしまうのだ。 ボロノイ分割は通例、無秩序な点の集…

円を巧妙に配列させるのは和算の伝統である。まことに日の丸の人々は円が好きである。おそらくは卑弥呼の時代の三角縁神獣鏡あたりから、円を好むような感性を養ってきたのだ。 「丸」の古称も「まろ」に由来する。船舶の名も城の本丸も、（おじゃる丸のよう…

双子素数ちゃんを可視化する。併せて、｛P、P+4｝（Pは素数）などの４差素数や６差素数などの系列を一挙に可視化してしんぜよう。{3, 5}, {3, 7}, {3, 11}, {3, 13}, {3, 17}, {3, 19}, {3, 23}, {3, 29}, {3, 31}, {3, 37}, {5, 7}, {5, 11}, {5, 13}, {5, …