円周率の連分数による素数競争再び

　かなり昔に円周率の連分数展開で発生する素数の分布を集計したことがあった。今回は、ｎ番目までの連分数展開に何個の素数が含まれるかを見る。
　円周率の１００番目までの連分数展開はこうなる。

{3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10}

　これは下記のように展開したケースを想定していることは言うまでもない。

　これを踏まえて、横軸にｎをとるとｎ番目まで素数が何個含まれるかをグラフにできる。

　上記には素数が３５個あるわけだ。しかし、重複していることを忘れてはならない。２が何回も出てくればその回数を勘定する方式である。

　これをオイラの定数と比較してみよう。いつもの0.577に始まる謎の定数である。
最初の４００番目までの比較だ。

　青が円周率で、赤がオイラーの定数である。両方とも負けていない。
ユニークな素数だけを拾い集めると差がでるだろうか？

ちなみに自然定数の底ｅはいつまで行っても素数が２個しかないのでNGとしている。

追記：：：６００個までの比較では円周率が勝つようである。

オイラーの定数ガンマ ―γで旅する数学の世界―