マクローリン級数で蒸せる

　マクローリン級数でホットな計算をしよう。
Log(1+x)から開始しよう。以下、x=0の近辺に限る。

　調和級数が係数に現れるので級数マニアは弄りまわす対象にしている。

それではLog(1+Log(1+x))でマクローリン級数展開したらばどうなるだろうか？

あまりどうにもならない。つまりは、興味深そうな現象がなさげである。

　計算力もりもりの猛者のために、係数だけを25項まで取り出しておこう。

規則性を見出したら公表してほしい。

　次にとりい出すのはExp(Exp(x)-1)だ。なぜ−１なのかはここでは略す。
こいつのマクローリン級数展開だ。

　この係数で注目すべき点は分子の素数の多さであろうか？　初期１００項中１６個が素数であった。

それはこんな数列である。

{1, 1, 1, 5, 5, 13, 203, 877, 23, 1007, 4639, 22619, 4213597, 27644437, 95449661, 276591709, 10480142147, 255755771, 97439543737, 5832742205057, 263898766507, 158289938718917, 88366975263673, 22076002927542173, 148652956431601763, 356814640940769181, 1459742544812316361, 545717047936059989389, 1232107880919986930491, 1049114734395004046929, 282249671503936444150049, 935759904202397862281423, 462782116344398342671647, 1629595892846007606764728147, 43462548426675909292016841, 191564763958884535077102331, 131714301030855804826742264873, 17622788736183482633981858541647, 373144946047812665261549770319573, 10738823330774692832768857986425209,
157450588391204931289324344702531067, 587788126935154407050173519310947247,
35742549198872617291353508656626642567, 36863341253144365621447646218715851159, 2175490856846763772255900132963949287219, 27851701053252733920469410798730815938683, 12245503888294562177991807809218336627883, 99074231487993415863770746286855846878769, 12331760711825851282749224589644108583255211, 10726137154573358400342215518590002633917247281, 269165606914606189040953285770882489129307033, 3263983870004111524856951830191582524419255819477, 344410284166839483937660515166973959464520545127, 23930193591243503775176847682308716702918243505503, 19317287589145618265728950069285503257349832850302011, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837, 25011758289574840614918726719717311723806028852967, 835372012564561061049139229895522586564461952318532369, 2507136358984296114560786627437574942253015623445622326263, 1294124824639726885763182740858549917199763638129451812311, 325646435822335850995664688987225151850082115919158160852879, 204424657737015046363075137976000311679884261306219072787, 8700810974379451874576583026840598802946238327396523527592603,161779837262855389998283465182445843695101767339943351839552411,
34426828671471770186873992733054514225111515036809951609067974679,
908444696364474830603814420691934360352509248640108995591304821843,
1892827005825455353223315386779512629092147802134616537512213653543,
1676501284301523453367212880854005182365748317589888660477021013719409
, 91570560516740338697086601545071347581747937119829773701679314509988
59, 269737589462649278778948759235688746463980774666216424590578914806
667669, 11661292837639039508101151241611851058906994344818127682727737
4419922769,
3045746965749733389999594037030856020073577042066586063010191005418329
343, 50213089930418616109172245194217476045912627464552542995034693833
04115719,
7161154118949296481758853517064277778904690645376366799905379668123376
1808611, 8344846707079875632845127451596203700771861302349431933599228
30193549785716867,
1178960269208583009667306425382120840590256030611998135719980599423866
37656568797,
7190715583950627289795361469555097898603322198360004014037098230378521
9840720913,
1684486239881371096317490919816649241308048666209360020843524658709456
9092201815337,
5542375493331312598758743240789082883113137439128593836760336775853746
275395220981,
9941480606472545013525857073382336382488099314459196780352451539055146
4503050245943,
2478169972021061986109598586639800598402036910002378997557349698547840
71804170436222211,
2004962649268490997324867957838606348336388818355680439459903560106491
6543815183001489,
9049093542456229685536436527745623288509063337460531331761302889040676
208345315082451267,
7946146406648475949716797151603834748258520924935790750868755034654408
674385113113326983237,
4082481412918057389801413147337015339915783741640943487877384759956519
88600158415299211778933,
1058332187322823442455213774434443410039195530943642579785210855951043
4249855735357360593574749,
1538024683634227089778477993402816597310436056463516773377488813803278
4788399710023165198060701,
2435573585275843529879826837077615577258405251400101296730118617590904
400852138369809926481874179,
2779341391485223541025518500347009865378757604874223568872157160084059
5164742020477258437569291581,
1404765727246902627219448454220029340042451837886254224650751949119079
4909014294401687588888546371,
1415803181233929304641928191232026069812845632917865458043702235253640
95085412667328027643050802912567,
1547492544912280864262269564993106039562222314183496164905731937898032
37493690584431270808952730384561,
2665294947318494559102841970038015263110799368294747828302607548553836
9052091629798203212147063412089091,
2448441643414229959661344830525413005643533539763575794596054694250110
6481393718809127805038733514135119,
8301204355096728178712047672027499108143643140238175224250451462948180
0064636673934392827445150961387102019,
1076735508198498688954700485138112533655409674472282897255693614843360
627661125268210970262755804086654989,
6679085342279740853342189249610617782086255565040087985099356940557540
4871887998514898872210341414631481213729,
5182684730984088153385830155581168811481923797045000583659965531726991
1889853534867158051114416848599271885709,
3343052887213634981854713172738079881961641110953471986756458034242792
65560787484392874104062984826929969187323,
5395686758153561019518935427203785804435615043629374666328031566963762
43597469014783702711339816342730493554440247,
2444036531934506094442258286666009646962694899169266125660828692221834
3347659189842153427860409736161763512009533}