正多角形の間にあるトンチな内点多角形の回転

トンチな内点とはなにか？
　下図をご覧いただこう。

　正五角形が3つ等間隔に並んでいるだけだ。しかし、真ん中の正五角形は両端の正五角形から生成されているのだ。
　下図で説明しよう。

　中央の正五角形の頂点Pは、両端の正五角形の頂点ＡとＢを結んだ直線ABをκで内分してできる点である。中央の正五角形の残りの４点も同様にして定義されている。

　ここで、両端の正五角形がｘ軸に対して（もちろん２つの正五角形の中心はｘ軸上にある。簡単のため中心の座標は１と−１である）
　それぞれｘ軸に対して、α、βだけ傾いているとしよう。すると中央の多角形は正五角形ですらなくなるであろう。
　そう。両端の正五角形が別々の角速度で回転したら、真ん中の多角形がどのように振る舞うかを可視化したくて生み出した図形配置なのですね。

　実際にα＝６０度、β＝３６０度としてみるとこうなる。

　中央の図形（青色）がやや小さくなっているのがわかろう。ちなみにκ＝1/2である。
　中央の図形の点を算出する式は単純である。ｒを正ｎ角形の外接円の半径とすると、ｋ番目の頂点の座標式は下式となる（両端図形の中心のｘ座標は簡単のため中心の座標は１と−１とした）。

ところで
　α＝-β。つまり、両端の多角形が同し角度だけ逆回転する。
αとβがこういう関係の時に、中央の青色図形はどうなるであろうか？
「こうなるしかない」という結果になるのだが、各自試行してみられといいでしょう。

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正六角形で左端の正六角形の回転速度を右端の３倍としてもののアニメである。

正五角形でκ＝i（虚数）として、片方の角速度を５√αとして場合のアニメである。青の図形が生成されたトンチ多角形である。複素平面だからこんな場所に現れる。