素数の交代和

　昨晩のトピックで気付きがあった。素数の交代和というのは見かけてない。
単純な和ではなく、符号がプラスとマイナスが互い違いになる和である。

　２−３＋５−７＋１１−１３．．．．．．

これはいかなる振る舞いを長期的にするか？
ものは試し、計算してよう。

　こんな関数を定義すればいいのだろう。

Pkはｋ番目の素数だ。

　最初の十項だ。
2, -1, 4, -3, 8, -5, 12, -7, 16, -13

　和自体も正負が交代するとともに、単調増大してゆくようだ。
下図は５００番目の交代素数和（以下、素数和とする）の結果である。横軸はｋ番目を示している。

どうやら、意外に単純な増大の仕方であることに心付く。

素数と素数和をペアにして（ｘ，ｙ）表示するとこうなる。

つまり、正三角形の枠内にあるように思える。

　５００番目の素数は３５７１であり、素数和は−１７９５だ。約半分である。
実際に、素数和を素数で除した結果を表示してみよう。

　大半がプラマイ1/2以内であり、和がおおきくなっても絶対値が１／２を超えることがなさそうである。
　素数が104729まで検算してみた。その時の比は-0.496682である。
横軸は素数の対数であるが、やはり１／２以内である。

　１／２というとリーマン予想を想起してしまうが、奇妙な一致ではある。

素数表150000個