リーマンのフラクタル

　昨日の続きです。ワイエルシュトラスの関数とくれば、高木関数なのでしょうけど、ここではリーマン関数を取り上げます。ここで、リーマン関数がフラクタルというわけではなくイメージが似ているというだけです。
　昨日のように二次元の媒介変数化して何が起きるかを観察するのです。

　ｙの表式でｎ→無限大がリーマン関数です。ｘは対称性から余弦関数にしてます。そのほうがカッコがイイという理由だから。

変数uを0→1として、描きます。n=3ではこうですな。

n=10ではこうです。

　ワイエルシュトラス関数のケースより変動性は激しくはない。けれども形状が珍妙ですわい。
　これは、あまり人前に出したくない図形ですよ。

ｎを４５まで動かした動画です。

【追記】ところで先程、面白いことを見つけた。
ｎの場合の面積を厳密に計算できるのだ。*1

　こんな複雑な図形の面積がこんなシンプルになるのは、三角関数の直交性のおかげさね。入れ込みあった面積はきっちり精算された計算のはずであります。

解析入門 原書第3版

ここに同じ図柄がありました！残念。

*1:　媒介変数曲線の面積の式は高木貞治の本に載ってるので参照してください。