カッシーニの３焦点曲線

　言わずと知れたカッシーニの卵形の続きであります。

複素平面で三点からの距離の積が不変な曲線群です。

Abs(z^3-1)^2=h

　その三点は１の三乗根ωをベースとしています。なんとなく円分方程式と関係性があるのですね。

　ｈを動かす。０から３まで連続的に変化させている。ｈが負だと解はないのだ。

　ｘ，ｙ座標での表式はこうなります。

この凸と凹の曲率が一致するｈがないかを計算してみたが、ｈ＜０となる解が一つしかない。凸と凹の曲率が一致するのは噛合の最低条件であるはずだ。　つまり、どう変形してもカッシーニの卵形のように噛合は生じないようなのであります。

　ｈによる変形と原点中心の回転を同時に上映！

　

　歯車のようなガチガチとした凸凹の不連続ではなく、連続曲線でそれをみつけたいというのが、この７日間のｗｉｓｈであります。
　しかし、４焦点ではどうなるであろうか？
実は、曲率を一致させることができるのですな。

　それをｎ焦点カッシーニの曲率の一般式とともに後日に報告する。

【参考】ｎ焦点カッシーニ曲線について知りたければ、やはりこの本をどうぞ。
１９世紀の数学者は満遍なく複素数の可能性を調べているのですねえ。さすが！

数学への旅〈1〉方程式と対称性