カッシーニの卵形にふれる - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　曲線で楕円とならんで人気があるのは「カッシーニの卵形」だと思う（本当？）
極座標表示ではこんな式だ。

h=1.35での形状。

　h=1だとレムニスケートになる。今回は卵形のほうが興味がある。

曲率の式を出してみた（曲率の二乗）

これでは数式処理ソフトがなければ誰も手をつけないであろう。

θが０とπのときの時の値が等しいとするとこんな式になる。

簡約化すると

　11次方程式だが簡単な解が二つある。残りの９個はなんだか複素数くさい。

はじめの数値は負だ。二番目のｈで議論を進めるとしよう。

曲率の二乗のθによる変化（紫が９０度位相が進んだ式）

確かにpi/2でクロスしている。

参考にθだけ傾いた卵形の式を出しておく。

これは、焦点を傾けてさらにXY軸を傾けないと出せないことを注意しておく。

　それぞれ、こんな形状になる。

　さてさて、本題はなにか、なのだけれど、回転とかかわりがある。
お互いに９０度ずらして同じ角速度で回転しだしたら「かみ合う」か？

　その前にカッシーニの卵形の定義をおさらいする必要がありそうだ。

【参考】
　今回の複素数と図形のネタは山下純一の隠れた名著をベースにしている。