楕円の内側に接しながら転がる円

　外側を転がる円につづいて、内側を転がる円であります。
長軸＝１で離心率ｅの楕円の内側を半径ｒの円が転がるとする。始点はｘ軸の右端点です。
その時の始点の軌跡をθ（楕円と円の接点をｘ＝Cosθ、y＝(1-e^2)^.5 Sinθ）で表示したのが、
下式であります。
　その（x,y）座標の媒介変数表現です。

　ここで、EllipticE[θ, k]は第二種の楕円函数です。
その意味はθにおける接点と始点からの楕円上の距離です。かなり七面倒臭い式ではあります。

　結果の計算例です。
　楕円（赤線）のe=0.6です。円の半径＝0.3です。楕円内を４周した軌跡です。

　あるいは、２４周したらば、こうなりますです。

　楕円（赤線）のe=0.7です。円の半径＝0.2です。楕円内を２４周した軌跡です。

　言い忘れましが円の半径が大きすぎると接地しなくなります。楕円の最小曲率半径は(1-e^2)^.5なのでそれ以下の円しか
この曲線は描けません。エピサイクロイドとは違うところです。

　最後に動画表示ですね。

どれもが、微妙に閉曲線にはならないなあ。

【参考】一番最近の一番まとまりのよい楕円函数の参考書

楕円関数論―楕円曲線の解析学