平面内のビリヤードの運動 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

　昨日ブログの続きです。
　本来ならば平面内のビリヤード球の軌跡から入るはずであったけど、そんなに難易度は変わらないので、そのままにします。
　二次元の正方形内（辺が１）でも同じ関数の適用で軌跡は表示できます。

この式で計算してみましょ！
　軌跡の式。ｔが時間で、ｘｙ座標を動きます。0.5は初期の位置です。

すると網の目みたいになりますが、それぞれは規則正しく構成された菱形になります。

ところが係数に無理数が入ると変容します。その様子を見てみましょう。
　まず、軌跡の式。

始まりはこうなります。

しかし４倍の時間が経過すると埋まってきます。埋まり方は稠密であることが証明されています。つまり、無限の時間があれば隙間なく平面を埋め尽くすのです。

次は二組の球の軌跡を組合せます（衝突は無視しますよ）

　x1,y1の軌跡とx2,y2の軌跡で、ｙの係数だけ違います。傾きがずれるわけです。

　一種のカオス理論の真似事みたいですが、こんな組合せで軌跡を比較表示してみました。
　x1,y1の軌跡は無理数での軌跡とx2,y2は前者に近いけど有理数での軌跡。

１０秒後と１００秒後とそれぞれ考えて下され。

平面内で稠密であることの証明はこちらをごらんください。