ソフィー・ジェルマン素数の一分岐

　ソフィー・ジェルマン素数とは、素数ｐとして２ｐ＋１も素数となるものをいう。
　初めの百個の素数のうちソフィー・ジェルマン素数となるのは２６個である。

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233,239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509

この出現頻度はどうなるであろう？
　初めの素数１〜１０００個まで順次何個ソフィー・ジェルマン素数があるかを縦軸にしたグラフであります。

１０００個中１６７個である。５０００個中では６１１個。
１０万個中82237個である。一千万個中では、355577個である。
　おそらく、右肩下がりで比率は減少するのであろう。

　この考えを拡大する。素数ｐとｑを掛けてｋを加えて、それが素数となるものはどれくらいか？
ソフィー・ジェルマン型の２ｐ＋１が頻度最大ではあろうけれど、確認する価値はあろう。

ｋを変えて１００〜１０００までの最初の素数で、各個数がどうなるかというと、
なんとソフィー・ジェルマン型ｋ＝１よりｋ＝２以上の偶数の方が圧倒的に多いのだ。このケースでは
ｋ＝６が最大頻度となる。

　それを視覚的に表してみよう。
二次元化してソフィー・ジェルマン型を格子点として表示する。
最初の１００個の素数のペアでｘ・ｙ＋１が素数となるのは、ｘもしくはｙが２の場合だけで
あり、ソフィー・ジェルマン素数は２６個あったので、２６＊2＋１＝５１個の点となる。

ｋ＝２となるとこうなる。

【参考文献】男もすなる数論とかいうものを女もしてみむとて．．．．
　人間嫌いと思われがちなガウスがこう言う。
「けれども、私の尊敬する文通相手ル・プラン氏が、このすばらしい女性ソフィー・ジェルマンに変態したのを見て、私の賞讃と驚きを、どういう風にいったらいいか分らないくらいです。」

数学史のなかの女性たち―八人の女性数学者とその生涯 (1977年)