テープリッツ行列値からなる数列の和の極限予想

　テープリッツ行列とは対角上の数値が同一である行列をいう。数値計算法で重宝する。
　こんな形状である。

これは一行目と一列目が（1,2,3,4,5）の場合だが、（1,2,3,4,....n)を
ToeplitzMatrix(n)として、行列値の逆数を考える。

まず、行列値はこんな交替数列になる。
　1, -3, 8, -20, 48, -112, 256, -576, 1280, -2816, 6144, -13312, 28672, -61440, 131072, -278528, 589824, -1245184, 2621440, -5505024, 11534336, -24117248, 50331648,．．．．．
　n=100では-32008177655762792387791755935744と巨大な数となる。

この逆数の和を計算するのである。
　n=500までの和では「0.75627913513468494418...」となる。
極限値の予想式を残しておく。

上式の数値は「0.75627913513468494418...」で20桁まで一致している。

　読者諸賢でこれを証明、もしくは反証できるであろうか？

【ヒント】オンライン整数列大辞典
　　　　　数列番号　A001792　を参照のこと

【参考書】

なるほど高校数学 数列の物語―なっとくして、ほんとうに理解できる (ブルーバックス)

数列 (モノグラフ (14))

ちなみに、このヒルベルト学派の数学者の文庫本が出ている。世の中狭い。

数と図形 (ちくま学芸文庫)