ホケッとしている間に2月も末になった。月末を飾るほどでもないが、素数の逆数和の一種を何気なしに計算してみる。
以下の素数積の和を探る。
一見、この極限がハッサンするか収束するかは判断できない。自分も答えを持ち合わせているわけではない。
素数列の逆数和の極限がハッサンすることからすれば、発散する可能性が高いだろう。
そして、たしかにこの和はLn(Ln (Prime))に接近する。手元の『数学定数事典』の93ページでは、その差分はマイセル-メルテンス定数になる。0.2614972...
つまり、ゆるやかに発散するのだ。
では、上述の素数積の和はどうなのであろうか？
予想にたがわず発散するようだ。１０００番目の素数[7919]までの和は「74.407647355553862872」となる。
ちなみに、こういうお遊びをやる。
１０００番目の素数[7919]までの和は「71.950236078842505125」となる。ほとんど収束効果はない。
荒療治が必要である。これではどうか？
素数の逆数積をその素数で除してみるわけである。効果は覿面であった。
１０００番目の素数[7919]までの和は「0.60743609733373614881」となる。
おそらく収束するであろう。しかし、その数自身がナゾい場所にある。
【追記】
スモークマン氏の貴重な示唆でもう少し数値計算を進めてみた。どうやら1/ζ(2)とは違う場所に落ち着くようなのだ。
2500番目の素数「22307」までの計算値は「0.613874043027524943960722419470」になる。
3000番目の素数「27449」までの計算値は「0.614993176001137773356869350693」
本当はこの程度で収束するかどうかは分からない。しかし、希望的観測で有限な極限値がありそうだ。
ちなみに、この数列はオイラーのφ関数を用いて書き直せる。
すなわち、
